| · Vitesse de la lumière | · Les obstacles à la lumière | · Polarisation de la lumière |
| · Éclairage et intensité lumineuse | · Force, travail, puissance et énergie | ¨ Bas de page |
PHYSIQUE “1ère PARTIE”
Dans le premier chapitre de cette leçon de physique, nous allons approfondir les connaissances que nous avons sur la lumière : comment elle se propage, à quelle vitesse, quelle est sa constitution…?
Le second, nous permettra de préciser le sens que nous devons attribuer aux termes : force – travail – puissance – énergie.
1. – LA LUMIÈRECe qu’est la lumière est un problème qui a occupé l’esprit de la plupart des savants de tous les temps et qui a aussi intéressé toutes les personnes curieuses des phénomènes naturels. Plus particulièrement à partir de l’an 1 600, et pendant près de trois cents ans, les physiciens se sont demandés si la lumière était constituée de corpuscules très petits, autrement dit si elle présentait un aspect corpusculaire, ou bien d’ondes qui se propageaient dans l’espace comme les vagues sur l’eau et le son dans l’air, c’est-à-dire si elle présentait un aspect ondulatoire.
Cela semble un problème facile à résoudre. En effet, chacun d’entre nous saurait distinguer sans trop de difficultés le mouvement d’un corpuscule allant d’un endroit à un autre, d’un mouvement ondulatoire qui se propage en s’élargissant autour de sa propre source. En réalité, il y a des raisons d’être perplexe. C’est qu’après avoir effectué diverses expériences, certaines rendaient acceptable l’idée corpusculaire, d’autres permettaient plutôt de retenir l’aspect ondulatoire.
En considérant ces deux aspects, nous pouvons comparer un faisceau de lumière traversant l’espace à une bande de phoques se déplaçant à la surface de la mer (figure 1-a).
Chaque phoque représente simultanément un corpuscule de lumière et une onde lumineuse. En effet, bien que se déplaçant avec ses compagnons d’un point à l’autre de la surface de la mer, et cela en conservant une direction bien définie, il suit, là ou il se trouve, l’ondulation des vagues.
Les trois files rectilignes qui composent la bande, en se maintenant toujours en bon ordre, nous ramènent à l’idée du rayon lumineux qui, dans la figure 1-b, est représenté par une ligne droite de couleur jaune..
Cette comparaison est seulement figurative et ne peut donner aucune explication concernant la véritable nature de la lumière. Si nous désirons en savoir un peu plus, il nous faut examiner le comportement des rayons lumineux dans les cas les plus significatifs.
Nous décrirons dans cette leçon les principaux phénomènes lumineux en nous limitant à leur observation.
Les rayons lumineux peuvent se voir en été, quand, après un orage, le soleil apparaît entre les nuages. Ils peuvent aussi se manifester lorsque pénètre dans une pièce obscure un faisceau de lumière à travers un petit trou. Ces images donnent une idée de la trajectoire du rayon lumineux et mettent en relief la propriété fondamentale suivante : La lumière se propage en ligne droite, tout au moins tant qu’elle ne rencontre pas un obstacle.
1. 1. – VITESSE DE LA LUMIÈRE
Dans les espaces vides (ou presque vides) qui séparent les étoilent, il y a des torrents de lumière qui se croisent et vont dans toutes les directions, tous à la même fantastique vitesse.
Pendant longtemps, on a pensé que la lumière s’éloignait de sa source à une vitesse infinie, ce qui veut dire que l’on supposait qu’elle se propageait instantanément d’un point à l’autre de l’espace, quelle que soit la longueur du parcours. Mais cela est une erreur : la lumière met toujours un certain temps pour aller d’un point à un autre.
La vitesse de la lumière étant supposée très grande, il s’est avéré nécessaire pour mesurer ce temps, de considérer un parcours de très grande longueur. Ce sont très naturellement les astronomes les mieux placés pour disposer de tels parcours : terre-lune ; terre-soleil ;… Et ce fut effectivement l’un d’eux qui eut, le premier, l’occasion de mesurer cette vitesse. Vers la fin du XVIIème siècle, l’astronome hollandais ROEMER, qui effectuait des observations sur les mouvements de Jupiter et de quatre de ses satellites, releva que ces derniers, dans certaines conditions, avaient des retards notables par rapport à leur tableau de marche dans l’espace.
Ce fait nécessite une explication, car tous les astres, grands et petits, sont toujours très ponctuels.
ROEMER, après de nombreuses observations, réussit à déterminer avec une grande exactitude la révolution d’un satellite de la planète Jupiter. Entre outre, il sait que la terre et Jupiter tournent autour du soleil. A l’aide de ces données et en effectuant de nombreux et complexes calculs, il détermine les points où Jupiter et son satellite doivent se trouver un jour donné, à une heure et une minute précises.
ROEMER entreprend alors de vérifier par l’observation astronomique l’exactitude de ses calculs. A cette fin, il attend que la Terre et Jupiter soient en conjonction, c’est-à-dire tous deux alignés avec le soleil, La terre étant au milieu comme le montre la figure 2-a. Il note alors l’instant exact où le satellite de Jupiter entre dans la zone d’Ombre de la planète.
Il calcule alors dans combien de temps les trois planètes seront alignées, mais cette fois avec le soleil au milieu (figure 2-b). La Terre et Jupiter sont alors en opposition. De plus, ses calculs lui permettent de préciser l’instant où le satellite de Jupiter disparaîtra dans le cône d’Ombre.
Ses observations l’amènent à constater, avec surprise, que la pénétration du satellite derrière sa planète s’effectue plus tard que les calculs le prévoyaient. Ce retard est de 1 000 secondes. ROEMER en cherche la cause, étant certain de l’exactitude de ses calculs et observations. Il remarque alors que la Terre, lorsqu’elle est en opposition avec Jupiter, se trouve plus éloignée de cette planète que lorsqu’elle est en conjonction. Il calcule alors que la différence des distances entre opposition et conjonction est d’environ 298 millions de kilomètres.
ROEMER explique alors le retard constaté de la manière suivante : si le parcours de la lumière envoyée par le satellite vers la Terre a été allongé de 298 millions de kilomètres et que le retard observé est de 1 000 secondes, cela signifie que ce temps est celui nécessaire à la lumière pour parcourir 298 millions de kilomètres.
En partant de ces deux nombres, il est facile de calculer la vitesse de la lumière. En effet, en divisant une distance parcourue par le temps mis à la parcourir, on obtient la vitesse. Dans notre cas, on trouve 298 000 km/s. Ainsi, ROEMER peut dire que la lumière se propage dans le vide intersidéral à la vitesse fantastique de 298 000 km / s.
Par la suite, après l’expérience de ROEMER, d’autres mesures ont été effectuées dans des conditions différentes et avec des instruments de mesure perfectionnés. On a ainsi pu établir que la vitesse de propagation de la lumière dans le vide est de 299 776 km /s, soit une vitesse légèrement supérieure à celle que ROEMER avait trouvée. Pratiquement, on arrondit ce nombre à 300 000 km /s, comme cela est mentionné figure 2.
1. 2. - LES OBSTACLES A LA LUMIÈRE
La lumière naît de la matière, c’est-à-dire des substances qui constituent les corps. Une simple ampoule électrique met cette affirmation en application.
Le courant électrique parcourant le fil de tungstène de l’ampoule a pour but exclusif de le chauffer jusqu’à ce que sa température soit de 3 000°C. A ce moment, le fil émet de la lumière sous forme de rayons et dans toutes les directions.
Il serait intéressant de voir comment la chaleur peut être transformée en lumière. Pour cela, il nous faudrait connaître plus à fond la structure de la matière, ce qui sera fait ultérieurement. Pour le moment, nous nous limiterons à suivre le parcours des rayons lumineux, en notant les causes qui les écartent de leur direction rectiligne naturelle ou qui en modifient la couleur.
Tout le monde peut observer ce qui se passe lorsque l’on projette un rayon de lumière colorée sur un corps blanc.
Si la lumière est rouge, le corps blanc nous paraît rouge ; si elle est jaune le corps nous paraît jaune, si elle est verte, le corps nous paraît vert et ainsi de suite.
Le blanc ne peut être perçu qu’à la lumière naturelle, qui est blanche, ou à la lumière presque blanche d’une ampoule.
Ces observations nous amènent à penser que la couleur des corps est due, au moment en partie, au type de lumière qu’ils reçoivent. Contrairement à ce qui se passe pour le corps blanc, on peut observer qu’un corps noir, mais d’un noir mat, paraît toujours noir sous n’importe quelle lumière.
La perception du noir indique l’absence de lumière. Dans une chambre totalement obscure, on peut constater que les corps blancs, noirs ou colorés sont tous noirs et ne peuvent être distingués. D’autre part, si l’on observe un corps noir successivement sous différents types de lumière, on constate qu’il ne prend jamais la couleur de la lumière qui l’éclaire.
Le corps blanc, qui se colore différemment selon le type d’éclairage, montre que les substances peuvent renvoyer les rayons qui les frappent. D’autre part, le corps noir effaçant toute trace de lumière, montre que les substances peuvent absorber les rayons qui les frappent.
Le premier phénomène, dans lequel les rayons sont renvoyés dans toutes les directions (figure 3), est appelé phénomène de diffusion de la lumière.
Le second phénomène, dans lequel les rayons sont absorbés est appelé phénomène d’absorption de la lumière.
Notons que ces deux phénomènes se produisent simultanément et plus ou moins chaque fois qu’un obstacle matériel se trouve sur le trajet d’un rayon.
L’absorption et la diffusion de la lumière sont les causes principales de la coloration des corps. Elles permettent en outre de démontrer facilement que la lumière blanche est en réalité un mélange de lumières colorées.
Prenons par exemple deux objets, l’un rouge, l’autre vert. Pourquoi cette différence de couleur puisque tous les deux éclairés par la même lumière blanche ?
L’observateur voit l’objet rouge, parce que cet objet diffuse des rayons de lumière rouge ; de même l’observateur voit un autre objet vert parce que ce dernier diffuse des rayons de lumière verte. On peut penser que la matière constituant les deux corps transforme la lumière blanche en lumière rouge et en lumière verte. Ce n’est pas le cas !
La raison est que la lumière blanche est composée de lumières rouge, orange, jaune, bleue, indigo et violette, avec toutes les graduations. Ainsi, l’objet rouge présente cette couleur sous la lumière blanche parce qu’il absorbe toutes les lumières colorées constituant la lumière blanche sauf la lumière rouge qu’il diffuse autour de lui. D’une manière analogue, l’objet vert nous paraît vert parce qu’il absorbe toutes les couleurs de la lumière blanche sauf la verte qu’il diffuse autour de lui.
Il existe cependant des matières qui ne constituent pas un obstacle infranchissable au cheminement des rayons lumineux.
Considérons par exemple la figure 4-a. Le rayon arrivant sur la surface du verre, appelé rayon incident, change de direction dès qu’il pénètre dans l’épaisseur de verre où il n’est ni diffusé, ni absorbé.
Après avoir suivi dans toute l’épaisseur du verre un parcours rectiligne, il en sort en reprenant sa direction initiale mais décalée par rapport à celle-ci.
Le changement de direction que subit le rayon lumineux en passant de l’air dans le verre puis du verre dans l’air s’appelle la réfraction.
Le phénomène de la réfraction se produit chaque fois qu’un rayon lumineux passe d’un milieu transparent dans un autre également transparent.
Par exemple, il se produit lorsque la lumière passe de l’air dans l’eau, ou inversement, comme on le voit figure 4-b en suivant le parcours des rayons qui vont de la mouette à l’œil du poisson.
Remarquons sur cette figure qu’à cause de la réfraction, le poisson voit la mouette à un endroit où elle n’est pas et de ce fait, il peut ne pas percevoir le danger qui le menace.
Nous avons dit au sujet de la figure 4-a que le rayon sortant du verre reprenait sa direction initiale mais décalée par rapport à celle-ci. Il nous faut préciser que cela n’a lieu que lorsque les deux faces du corps transparent, la face par laquelle le rayon pénètre dans le corps et celle par laquelle il en sort, sont parallèles. Dans le cas contraire, il en va tout autrement.
Considérons par exemple le prisme représenté figure 4-c. Si le rayon incident est une lumière colorée pure, c’est-à-dire d’une seule couleur ce qui se dit encore monochrome, à la sortie du prisme le rayon a une inclinaison variable selon sa couleur. Ainsi, la lumière violette a la plus grande déviation. Les autres lumières colorées subissent des déviations plus faibles. On observe que la réfraction est de moins en moins prononcée au fur et à mesure que les couleurs passent du violet au rouge.
Si, au lieu d’une lumière monochrome on utilise une lumière blanche comme rayon incident, on observe qu’à la sortie du prisme on obtient un éventail de lumières colorées révélant dans la lumière blanche toutes les couleurs allant du violet au rouge.
Ces phénomènes de décomposition et de dispersion de la lumière blanche sont à la base de l’arc-en-ciel et du scintillement multicolore des cristaux. Dans le cas de l’arc-en-ciel, la fonction du prisme est accomplie par les innombrables gouttelettes d’eau qui, après un orage, sont transportées par les vents.
1. 3. - RÉFLEXION – DIFFRACTION – POLARISATION DE LA LUMIÈRE
Jusqu’à présent nous avons considéré trois types d’obstacle pouvant se présenter sur le chemin d’un rayon lumineux.
- Le corps blanc (ou coloré) qui diffuse la totalité (ou une partie) de la lumière incidente ;
- Le corps noir (ou coloré) qui absorbe la totalité (ou une partie) de la lumière incidente ;
- Le corps transparent, qui entraîne la formation des phénomènes de réfraction, de décomposition et de dispersion.
Trois cas particuliers nous restent encore à examiner. Le premier est celui de la surface réfléchissante : le miroir (figure 5).
Le miroir, à la différence du corps blanc, ne se borne pas à renvoyer les rayons incidents dans toutes les directions. Les rayons qu’il renvoie, appelés rayons réfléchis, sont dirigés dans des directions bien définies obéissant toutes à une même loi appelée loi de la réflexion. Cette loi s’énonce ainsi :
Le rayon incident et le rayon réfléchi forment avec la perpendiculaire au point d’incidence deux angles égaux entre eux appelés angle d’incidence et angle de réflexion (figure 5).
Sur cette figure, l’angle d’incidence est désigné par le symbole (î) et l’angle de réflexion par le symbole (^r). Les accents circonflexes sur les lettres î et ^r rappellent que l’on désigne des angles. L’angle d’incidence et l’angle de réflexion étant égaux, on peut en abrégé écrire î = ^r.
La même figure montre que l’œil recevant les rayons provenant du cône et réfléchis par le miroir est trompé comme l’était l’œil du poisson dans le phénomène de la réfraction. En effet, l’œil semble prolonger les rayons réfléchis derrière le miroir et y reconstruire l’image du cône. Mais il s’agit là, bien évidemment, d’une image illusoire encore appelée image virtuelle, et tournée vers l’objet réel. De même, lorsque nous nous regardons dans un miroir, notre visage constitue l’objet réel et notre image que nous voyons est l’image virtuelle.
On peut observer que l’objet réel et son image virtuelle sont symétriques.
Cette symétrie peut être vérifiée très simplement.
- En prenant comme référence la base du miroir, on constate que :
- - l’objet et l’image se trouvent à la même hauteur ;
- - l’objet d’une part et l’image d’autre part se trouvent à la même distance de la surface du miroir ;
- - l’objet et l’image se regardent.
Examinons maintenant un autre phénomène, celui qu’illustre la figure 6. Notons au passage que son étude nous montre que l’idée du rayon lumineux est acceptée avec quelques réserves.
Dans cette nouvelle expérience, on fait tomber un cône de lumière monochrome, une lumière rouge par exemple, sur une plaque de verre rayée verticalement par de fines incisions, parallèles et très serrées (figure 6).
Le verre, aux points où il est gravé, devient presque opaque et ne laisse donc pas passer la lumière. Par contre, entre chaque paire de rainures il y a une mince lamelle de verre au travers de laquelle les rayons lumineux peuvent passer librement.
Dans les conditions de l’expérience, on peut donc s’attendre à voir apparaître sur l’écran autant de fines bandes de lumière et d’Ombre qu’il y a de lamelles transparentes et de rainures opaques. Or, cela ne se produit pas ainsi.
Sur l’écran apparaît en effet des bandes éclairées et obscures mais beaucoup plus larges et aussi beaucoup plus marquées que l’on pouvait s’y attendre. D’autre part, le nombre de bandes éclairées est inférieur à celui des lamelles transparentes.
On peut donc en déduire que les rayons lumineux issus de la grille n’arrivent pas sur l’écran et qu’en conséquence ils seraient susceptibles de ne pas se propager en ligne droite.
Ce singulier comportement de la lumière passant à travers une fente très mince est appelée le phénomène de diffraction.
La diffraction montre donc que la lumière ne se propage pas toujours comme un rayon. Cependant, on imagine mal que certains rayons soient détruits. En réalité, tout se passe comme si certains d’entre eux se renforcent et que d’autres s’affaiblissent. Le résultat est celui observé sur l’écran : des bandes très éclairées et d’autres très noires.
Le phénomène est semblable à celui du son : deux ondes sonores se propageaient en donnant naissance au phénomène d’interférence. Cela se traduisait par un renforcement ou un affaiblissement de l’onde résultante qui donnait lieu à un son intense ou faible ou même inexistant. Dans le cas présent, deux ou plusieurs rayons s’additionnent donnant lieu à une lumière plus intense ou, au contraire, ils se contrarient en déterminant une large bande noire. Cela va à l’encontre de la loi de la propagation rectiligne des rayons lumineux.
La similitude avec les ondes sonores nous amène à dire qu’avec la lumière il peut exister une interférence d’ondes. La lumière est donc constituée d’ondes lumineuses, c’est son aspect ondulatoire.
La figure 7 représente une autre expérience dont les résultats peuvent nous amener à une perplexité encore plus grande.
Dans cette expérience, on observe que deux cristaux d’une matière transparente, la tourmaline, disposés dans une position donnée, laissent passer la lumière. Si l’on tourne l’un des cristaux, la lumière ne passe plus. Ce phénomène s’explique si l’on a recours à l’aspect ondulatoire de la lumière.
L’onde lumineuse peut se propager dans toutes les directions. Or, dans notre expérience, on suppose que la tourmaline ne transmet qu’une onde lumineuse orientée de façon bien définie par rapport au cristal. Plus précisément, le rayon sortant du premier cristal ne peut traverser le second que si celui-ci se trouve dans la même position que le premier.
En tournant l’un des cristaux, la lumière vibre entre eux d’une façon telle qu’elle ne peut pas traverser le second. On peut donc considérer qu’elle est arrêtée par ce dernier qui se comporte alors comme un corps opaque. L’effet produit par les cristaux de ce type est appelé polarisation de la lumière.
Sur la polarisation de la lumière est basé le fonctionnement de certains filtres pour appareils photographiques. Dans cette application, on élimine les reflets se formant sur les surfaces brillantes de certains objets et particulièrement indésirables dans le cas de la photographie en couleur.
1. 4. – ÉCLAIRAGE ET INTENSITÉ LUMINEUSE
L’effet lumineux le plus courant que tout le monde constate journellement est l’éclairement des locaux : domicile, lieu de travail, magasins… Cet effet lumineux est communément appelé éclairage.
Chacun de nous a pu constater que l’éclairage d’un corps dépendait de la distance le séparant de la source lumineuse. Il suffit en effet d’approcher et d’éloigner une lampe de poche d’un objet quelconque pour constater que lorsque la lampe est près de l’objet, celui-ci apparaît bien éclairé, lorsqu’au contraire on éloigne la lampe, l’objet devient moins bien éclairé.
L’influence de la distance source lumineuse-objet étant établie, faisons en sorte de la mesurer.
Considérons la petite installation représentée figure 8-a et composée d’une lampe et de deux écrans de surfaces différentes.
Éclairons le petit écran placé à 2,5 m de la lampe. Mesurons à l’aide d’un appareil spécial (cellule photo-électrique) l’éclairage de l’écran. Supposons que le nombre indiqué par la cellule soit 20.
Éclairons maintenant le grand écran placé cette fois à 5 m de la lampe, la figure 8 montre que la même quantité de lumière tombe sur les deux écrans. Mais, en mesurant avec la même cellule l’éclairage du grand écran, c’est-à-dire sa luminosité ou encore la quantité de rayons lumineux qu’il renvoie, le nombre indiqué par l’appareil n’est plus 20 mais 5, c’est-à-dire quatre fois moins.
Nous venons de constater qu’en doublant la distance source-écran, nous avons divisé la luminosité par 4. Nous pouvons donc énoncer une loi importante :
L’éclairage est inversement proportionnel au carré de la distance.
(Les leçons mathématiques expliquent ce qu’il faut entendre par «inversement proportionnel» et «carré»).
Si donc, dans notre expérience la distance lampe-grand écran avait été de 7,5 m, c’est-à-dire 3 fois celle de la lampe-petit écran, l’éclairage aurait été 3 x 3 = 9 fois moindre ; si au lieu de 3 fois elle avait été de 4 fois, l’éclairage devenait 4 x 4 = 16 fois moindre….
La figure 8-b représente une expérience qui sert à comparer la quantité de lumière émise par deux sources lumineuses S1 et S2.
L’écran, qui y est représenté, est opaque sur toute la surface, excepté le cercle central (C) qui est translucide, c’est-à-dire semi-transparent comme par exemple une tache d’huile sur une feuille de papier.
Si l’intensité lumineuse de la source S1 est supérieure à celle de la source S2, une certaine quantité de lumière venant de S1 filtre à traverse le cercle (C) vers S2 et inversement. Toutefois, si les deux intensités lumineuses sont égales, l’éclairement de la zone (C) est égale des deux côtés de l’écran et par conséquent, aucune lumière ne filtre ni d’un côté, ni de l’autre. Il en résulte la disparition de la tache.
2. – FORCE – TRAVAIL – PUISSANCE – ÉNERGIE
2. 1. – FORCE
2. 1. 1. – DÉFINITION
On appelle force tout ce qui est capable :
- de déformer un corps ;
- de mettre un corps en mouvement s’il est au repos ou de l’arrêter s’il est en mouvement ;
- de modifier le mouvement d’un corps.
Exemples :
Sur un établi, bloquons une barre d’acier par l’une de ses extrémités. Appuyons en B dans le sens de la flèche F. Nous constatons que la barre se déforme et prend la position B’ (figure 9-a).
Fixons à un crochet C, un ressort à boudin R. Tirons l’extrémité libre dans le sens de la flèche F. Nous constatons que le ressort s’allonge (figure -9b).
Dans ces deux expériences, il y a déformation d’un corps. Tant que l’effort ne dépasse pas une certaine valeur, la barre et le ressort reprennent leur forme primitive quand cet effort cesse : on dit qu’il a déformation élastique.
Considérons maintenant un morceau de bois B posé sur une table T (figure 9-c). Il reste immobile si rien ne vient le déplacer. D’autre part, il ne peut se mettre en mouvement de lui-même. Mais si on le tire suivant la flèche F, il se déplace : c’est la mise en mouvement. Si l’on cesse de le tirer, il s’arrête presque immédiatement : c’est l’arrêt de mouvement dû aux forces de frottement. Enfin, si nous lâchons une boule de papier au point A, elle tombe en B, juste en-dessous de A. Mais si un courant d’air se produit, elle tombe en C : il y a eu modification du mouvement par la force du vent…
Un homme, un animal, l’eau, le vent, la vapeur d’eau, un aimant… sont capables d’exercer des forces.
2. 1. 2. - FORCES ÉGALES
Définition : On dit que deux forces sont égales quand elles produisent, dans les mêmes conditions, la même déformation élastique d’un corps.
Ainsi, dans l’expérience représentée figure 9-a, si une personne appuyant sur la barre en fait baisser l’extrémité jusqu’en B’ puis qu’une autre la soulève au même endroit, jusqu’en B”, les distances B – B’ et B – B” étant équivalentes, on dit que les deux personnes ont exercé des forces égales. On peut alors écrire F = F’.
On dira aussi que ces personnes exercent des forces égales si, simultanément, l’une appuyant et l’autre soulevant en un même point de la barre, celle-ci ne subit aucune déformation. On dit alors que les deux forces s’équilibrent.
2. 1. 3. – LES FORCES SONT DES GRANDEURS MESURABLES
Si l’on soutient, sans la laisser reposer sur un appui, une masse de un kilogramme, on dit qu’on exerce sur cette masse une force verticale dirigée de bas en haut de un kilogramme-poids (kgp). Cette force est équilibrée par le poids de cette masse de 1 kilogramme qui est également une force de un kilogramme-poids, mais dirigée verticalement de haut en bas.
Le kilogramme-poids (kgp), bien qu’encore utilisé, est une ancienne unité de mesure. L’unité officielle est le Newton dont le symbole est N. La relation entre ces unités est donnée par l’égalité suivante : 1 kgp = 9,81 N. Le sous multiple du Newton est le dyne qui vaut 0,000 01 N ou 10-5 N.
2. 1. 4. – ÉLÉMENTS D’UNE FORCE
Une force peut être décomposée en un certain nombre de composants. Ainsi, dans l’expérience de la figure 9-b :
- le point B où s’exerce la force est son point d’application ;
- l’axe xy dans lequel on tire le ressort s’appelle la droite d’action ou direction de la force ;
- le sens suivant lequel le ressort se déplace sous l’action de la force est tout naturellement son sens ;
- l’allongement du ressort est fonction de la grandeur de la force, encore appelée intensité, que l’on exprime en Newton ou en dyne.
Une force est donc caractérisée par quatre éléments : son point d’application, sa direction, son sens et son intensité.
Quand une force appliquée à un corps déplace ce corps, autrement dit, quand une force déplace son point d’application, on dit qu’il y a production de travail.
2. 2. - TRAVAIL
Si l’on élève à 1 mètre du sol un corps dont le poids est de 1 kgp (ce qui revient à déplacer de un mètre, dans sa propre direction, le point d’application d’une force de un kgp) on dit que le travail de la force est de un kilogrammètre (kgm). De même, si l’on tire un chariot avec une force de 1 kgp et qu’on lui fasse parcourir un mètre, on dira aussi que le travail de la force est de un kilogrammètre. Plus généralement, quand le déplacement a lieu dans la direction de la force, le travail W de la force exprimé en kilogrammètres, est égal au produit de la force (kgp) par la longueur du déplacement (en mètres). D’où la formule :
W = F . lCette relation montre bien qu’il n’y a travail que s’il y a déplacement ; mais le déplacement doit être effectué dans le sens de la force.
Le kilogrammètre est également une unité ancienne. L’unité légale est le Joule (J) et sa valeur par rapport à la précédente est donnée par la relation : 1 kgm = 9,81 J. Le sous multiple est l’erg qui vaut 0,000 0001 J = 10-7 J.
Dans la relation précédente, les unités à utiliser sont donc le Joule (J) pour le travail W, le Newton (N) pour la force F, le mètre (m) pour la longueur du déplacement. On écrit alors :
W(J) = F(N) . l(m)2. 3. - PUISSANCE
Le travail effectué par un moteur électrique donne des renseignements insuffisants sur ses capacités. Ainsi, un moteur qui fournit un certain travail dans une minute n’est pas le même que celui qui fournit le même travail en une seconde. Pour être plus précis, on dira alors que le second moteur est soixante fois plus puissant que le premier parce qu’il peut faire le même travail en soixante fois moins de temps. On définira la puissance P d’un moteur comme étant le travail qu’il peut effectuer en une seconde, et plus généralement : la puissance est le travail fourni en une seconde. De cette définition, on obtient la relation :
P = W / tL’unité de puissance est le watt (W) et son multiple est le kilowatt (kW) qui vaut évidemment 1 000 watts. L’ancienne unité, que l’on trouve encore sur les plaques signalétiques des moteurs, est le cheval-vapeur (ch) qui vaut 736 W.
La relation précédente exprimée avec les unités devient :
P(W) = W(J) / t(s)On remarque que si le travail effectué est de 1 joule en 1 seconde, on peut alors dire que le watt est le joule par seconde (J / s)
Le watt, qui est l’unité de puissance mécanique est aussi l’unité de puissance électrique. Notons enfin la relation entre les deux anciennes unités de puissance (cheval) et de travail (kgm) : 1cv = 75 kgm / s.
2. 4. – ÉNERGIE
2. 4. 1. – DÉFINITION
On dit qu’un corps possède de l’énergie quand il est capable de produire un travail.
2. 4. 2. – UNITÉ ET SYMBOLE
L’énergie s’exprime comme le travail en joule et a le même symbole W.
2. 4. 3. - ÉNERGIE POTENTIELLE ET ÉNERGIE CINÉTIQUE
Soit un corps (C) arrêté en B, à 5 m du sol et pesant 600 Newtons (ce qui équivaut à environ 60 kgp) figure 10-a.
Laissons le tomber sans lui donner de vitesse au départ (on dit aussi : sans vitesse initiale). Ce corps prend sous l’action de son poids, qui est une force constante en grandeur et direction, un mouvement uniformément accéléré qui l’amène au sol au point D.
Entre les points B et D, le travail effectué par la force F de 600 newtons est de :
WJ = FN . lm WJ = 600 . 5 = 3 000 JPendant le mouvement, ce travail s’emmagasine dans le corps qui arrive en D avec une certaine vitesse. Cela lui donne ce que l’on appelle de l’énergie cinétique. Celle-ci peut par exemple se traduire en D par l’enfoncement d’un piquet. On dit alors que l’énergie cinétique du corps C en D est de 3 000 joules.
Les machines à enfoncer les pieux, appelées «moutons», et les marteaux-pilons sont basés sur ce principe.
Cette énergie cinétique de 3 000 joules enfoncerait de 3 cm un piquet qui résisterait à l’enfoncement avec une force constante de 100 000 newtons :
W(J) = F(N) . l(m) 3 000 J = 100 000 x 0,03Nous nous souviendrons que l’énergie cinétique d’un corps est l’énergie acquise pendant son mouvement.
Remarquons maintenant que lorsque le corps C est arrêté en B, la force qui agit sur lui et due à son poids, ne travaille pas puisqu’il n’y a pas de déplacement. Cependant, ce corps est capable de produire du travail, il possède donc de l’énergie. Nous dirons que cette énergie est à l’état potentiel ou que c’est de l’énergie potentielle.
Nous retiendrons que l’énergie potentielle d’un corps est l’énergie que possède ce corps lorsqu’il est au repos.
2. 4. 4. – PRINCIPE DE LA CONSERVATION DE L’ÉNERGIE
Considérons la figure 10-b avec le corps successivement en B, N, D.
1 – En B, son énergie cinétique est nulle, puisqu’il n’est pas en mouvement.
Son énergie potentielle est :
W(J) = F(N) . l(m) W(J) = 600 x 5 = 3 000 joulesNous avons alors : Énergie potentielle + énergie cinétique = 0 + 3 000 = 3 000 joules
2 – Le corps est en N :
Son énergie cinétique est :
W(J) = F(N) . l(m) W(J) = 600 x 3 = 1 800 joulesSon énergie potentielle est :
W(J) = 600 x 2 = 1 200 joulesNous avons à ce point :
Énergie potentielle + énergie cinétique : 1 800 + 1 200 = 3 000 joules.3 – Le corps est en D.
Son énergie cinétique est, comme nous l’avons déjà calculée, 3 000 J.
Son énergie potentielle est nulle (le corps ne peut plus tomber).
Nous avons donc maintenant :
Énergie potentielle + énergie cinétique = 0 + 3 000 = 3 000 joules.Nous voyons qu’à chaque instant la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle est constante. Quand il apparaît de l’énergie cinétique, il disparaît une quantité égale d’énergie potentielle.
Ce principe est général. C’est le principe de conservation de l’énergie.
2. 4. 5. - FORMES ET TRANSFORMATION DE L’ÉNERGIE
L’énergie se présente sous de multiples formes :
- l’eau d’un barrage (énergie potentielle) en tombant (énergie cinétique) sur les pales de turbines produit de l’énergie mécanique ; à leur tour, les turbines entraînent des alternateurs et l’énergie mécanique est transformée en énergie électrique ;
- Un four électrique transforme l’énergie électrique en énergie calorifique ;
- l’énergie chimique d’une pile ou d’un accumulateur se transforme en énergie électrique ;
- le démarreur équipant le moteur d’une voiture transforme l’énergie électrique qu’il reçoit de l’accumulateur en énergie mécanique…
Il existe encore beaucoup d’autres formes d’énergie : énergie nucléaire, énergie solaire, énergie éolienne (énergie des vents)…
Nous noterons, pour terminer, que l’énergie est réversible. C’est-à-dire, par exemple, que l’énergie mécanique peut se transformer en énergie électrique et réciproquement ; l’énergie électrique peut se transformer en énergie mécanique.
| · Cliquez ici pour la leçon suivante ou dans le sommaire prévu à cet effet. | ¨ Haut de page |
| · Page précédente | · Page suivnt |
| · Champ magnétique | ¨ Bas de page |
PHYSIQUE “2ème PARTIE”
Cette dernière leçon de physique traite de la nature, de l’origine et de l’action des différents champs électrique, magnétique et électromagnétique.
1. – CHAMP D’ACTION1. 1. - CHAMP GRAVITE
Souvenons-nous de l’expérience de la sphère citée en référence de la figure 10, on peut prendre le même schéma pour une autre explication.
Il s’agissait d’une sphère qu’on laissait tomber du haut d’un gratte-ciel et qui, sous l’action de la gravité terrestre, suivait un parcours rigoureusement vertical.
Imaginons maintenant que nous laissions tomber une sphère identique d’un point très proche du premier : elle suit un nouveau parcours vertical, voisin du précédent.
Supposons que nous répétions la même expérience en déplaçant progressivement le point de départ des différentes sphères tout au long d’un côté du gratte-ciel. Cela déterminerait un ensemble de lignes verticales proches les unes des autres. L’ensemble de ces lignes verticales déterminerait ce que l’on appelle le champ d’action de la gravité ou plus simplement champ de gravité.
1. 2. – CHAMP ÉLECTRIQUE
Dans une autre partie de cet ouvrage, il est dit qu’autour d’un corps électrisé, il se manifeste des forces électriques. Ces forces agissent dans l’espace environnant comme la force de gravité terrestre agit sur les sphères de l’expérience précédente.
Examinons par exemple deux plaques métalliques, l’une étant chargée d’électricité positive et l’autre d’électricité négative, et disposées comme l’indique la figure 1.
Si une particule chargée d’électricité négative se détache de la plaque supérieure (négative), elle tombe sur la plaque inférieure (positive) après avoir suivi un parcours rectiligne comme les sphères de l’expérience précédente.
Le déplacement de cette particule est en partie dû à la force de gravité mais surtout à la force électrique qui agit dans l’espace compris entre les deux plaques. Si l’on considère cette dernière force, nous dirons que l’espace compris entre les deux plaques constitue un champ d’action électrique ou plus simplement, qu’entre les deux plaques existe un champ électrique.
Examinons les différentes actions pouvant se produire dans un champ électrique (figure 2). Elles diffèrent selon le type de charge des corps, charge qui peut être positive et symbolisée par le signe +, ou négative et symbolisée par le signe -.
La figure 2-a montre l’action existant entre deux charges de même signe (charges positives dans l’exemple, mais qui auraient pu être négatives) : les deux corps électrisés se repoussent. Autrement dit, il se crée entre les deux corps un champ de répulsion.
Pour étudier le champ existant entre les deux corps, il nous faut placer en différents points de l’espace qui les entoure des particules électrisées positivement. Chaque fois que les particules sont laissées libres de se mouvoir, en partant d’un point proche de la surface de chaque corps, elles parcourent des trajets semblables à ceux tracés sur la figure 2.
Ces trajets représentent la direction des forces à l’intérieur du champ et on les désigne généralement sous le nom de lignes de force.
Comme nous le disions plus haut et comme nous venons de le voir, un champ de répulsion se crée entre deux charges de même signe. Notre exemple considérait deux charges positives (figure 2-a). Si nous prenions maintenant deux charges négatives, nous constaterions la formation du même champ de répulsion, mais les flèches des lignes de force seraient dirigées en sens inverse. Autrement dit, les lignes de force auraient la même direction mais en sens opposé.
La figure 2-b montre ce qui se passe lorsque les corps ont des charges électriques de signes contraires. Ici, les lignes de force qui partent des deux corps se réunissent et se renforce mutuellement. Cela signifie que la particule positive soumise au champ est non seulement repoussée par le corps positif, mais aussi attirée par le corps négatif.
Revenons un instant à l’expérience de la figure 1. Dans celle-ci, le parcours effectué par la particule était inversé puisqu’elle s’éloignait de la plaque négative en se rapprochant de la plaque positive. Cependant, si l’on remplaçait la particule négative par une autre mais positive, on constaterait que le champ électrique entre les deux plaques est formé de lignes de force parallèles. Un champ de ce genre, dans lequel les lignes de force sont parallèles et où les forces électriques sont d’intensité égale aux points se trouvant à égale distance des deux plaques, est appelé champ uniforme.
La constitution particulière du champ uniforme de la figure 1 est due à la linéarité des plaques et à leur parallélisme.
La figure 2-c montre des champs radiaux, autrement dit les champs créés par des corps positifs ou négatifs, isolés, c’est-à-dire non soumis à l’influence d’un autre champ. Dans les deux cas, les lignes de force se présentent sous la forme de rayons s’éloignant du corps positif en convergeant vers le corps négatif.
Les corps électrisés peuvent être extrêmement petits. On peut même considérer que le plus petit corps électrisé négativement est l’électron que nous connaissons, et que parallèlement, le plus petit corps électrisé positivement est le proton. Dans ces cas, on ne parle plus de corps électrisés mais de charges électriques ponctuelles ou plus simplement de charge positive pour le proton et de charge négative pour l’électron.
Des expériences précédentes et de ce que nous venons de préciser, nous pouvons généraliser :
Un électron au repos est entouré d’un champ électrique. Entre deux électrons, il se manifeste une force répulsive qui dépend de la distance qui les sépare. De la même façon, deux protons se repoussent. Un proton attire un électron comme un électron attire un proton, ce sont précisément ces forces qui permettent en partie la stabilité du système constitué par l’atome.
On exprime aussi cela en disant que les électricités de signes contraires s’attirent, alors que les électricités de même signe se repoussent.
Le champ électrique se propage théoriquement à l’infini autour d’un électron ; mais comme son intensité diminue proportionnellement au carré de la distance, elle ne tarde pas à devenir négligeable.
Le champ électrique se manifeste dans les deux situations que peut occuper une charge électrique : repos ou mouvement. Il n’en est pas de même du champ magnétique, qui est un autre mode d’influence de l’électron.
1. 2. – CHAMP MAGNÉTIQUE
Définissons d’abord ce que l’on entend par champ magnétique : c’est tout point de l’espace où se fait sentir l’action d’un aimant. Cette définition nous amène tout naturellement à parler des aimants, qu’ils soient, comme nous le verrons, naturels ou artificiels.
Les aimants naturels sont des fragments de certains oxydes de fer dits magnétiques que l’on trouve en abondance dans certains pays, comme la SUEDE.
Les Grecs connaissaient déjà les pierres d’aimant et en ramassaient aux environs d’une ville de l’ASIE MINEURE nommée MAGNESIA, d’où le nom «magnétite» donné à cette pierre.
Ce n’est qu’au XII ième siècle qu’on sut réaliser des aimants artificiels à l’aide de barreaux de fer qu’on laissait pendant un certain temps dans un champ magnétique intense.
Un aimant attire le fer, l’acier, et à un degré beaucoup moins marqué, le nickel et le colbat. D’une manière générale, on nomme substances magnétiques toutes celles qui sont attirées par un aimant.
Un aimant possède toujours au moins deux pôles, qui sont deux points au voisinage desquels l’action magnétique est la plus intense. Entre deux pôles, on trouve une ligne neutre le long de laquelle il n’y a aucune propriété magnétique.
S’il s’agit d’un barreau droit aimanté, les pôles sont aux deux extrémités et la ligne neutre est la ligne médiane (figure 3).
Il est facile d’observer que les deux pôles d’un aimant ont des propriétés différentes.
Si un aimant est suspendu par son centre de gravité, dans un endroit éloigné de tout champ magnétique artificiel, il s’oriente de telle sorte qu’un des pôles, toujours le même, soit dirigé vers le nord magnétique (légèrement différent du nord géographique). Ce pôle est dit pôle nord, l’autre pôle étant le pôle sud. C’est le principe de la boussole magnétique, constituée simplement par une légère aiguille aimantée, posée sur un pivot.
A l’aide d’un aimant droit et d’une boussole, il est facile d’observer que les pôles de même nom se repoussent et que les pôles de noms contraires s’attirent (figure 4).
La figure 5 montre les lignes de force entre deux pôles de même nom, c’est-à-dire lorsqu’il y a répulsion (figure 5-a), et deux pôles de noms contraires, c’est-à-dire lorsqu’il y a attraction figure 5-b).
C’est par convention que l’on distingue pôle nord et pôle sud. On peut même voir une sorte de contradiction dans le fait que le pôle nord d’un aimant est précisément celui qui est attiré vers le nord géographique.
Nous savons qu’un aimant a toujours au moins deux pôles et une ligne neutre. Si nous rompons ou coupons un aimant suivant la ligne neutre A-B figure 6-a, nous faisons immédiatement apparaître deux nouveaux pôles, de part et d’autre de la coupure. Et si nous faisons la même opération sur chacun des deux fragments (figure 6-b), nous constituerons quatre aimants possédant chacun deux pôles et une ligne neutre.
Si nous chauffons un aimant, nous constatons que ses propriétés magnétiques diminuent. Si l’échauffement est faible, on observe que l’aimant reprend de lui-même son aimantation primitive. Par contre, si le barreau aimanté est chauffé au rouge, il perd définitivement toute aimantation. Un morceau de fer porté au rouge n’est pas attiré par un aimant.
Un morceau d’une substance magnétique mis au voisinage d’un pôle d’aimant devient aimant à son tour. On dit qu’il s’aimante par influence. Après éloignement, certains corps, comme la fonte et l’acier, conservent une certaine aimantation résiduelle ou rémanente et sont devenus des aimants à leur tour.
Nous avons appris qu’une des manifestations inséparables du courant électrique était la présence d’un champ magnétique, c’est-à-dire d’un champ de force capable d’agir sur les aimants. L’aimant crée, lui aussi, un champ magnétique. Des expériences, mille fois répétées et mille fois variées, ont montré que le champ magnétique de l’aimant et celui du courant électrique étaient rigoureusement de même nature. Il serait étrange que les causes ne soient pas identiques.
Nous savons que, dans un métal quelconque, comme le cuivre et le fer, on peut considérer que les électrons, éléments constituants de la matière, sont animés de mouvements circulaires ou elliptiques autour du noyau de l’atome. Ces mouvements sont évidemment des courants électriques élémentaires, puisque, par définition même, un courant électrique est un déplacement d’électrons. Or, à chaque déplacement d’un électron correspond nécessairement l’apparition d’un champ magnétique.
Mais à l’extérieur d’un morceau de cuivre, il n’y a pas de champ magnétique parce que les trajectoires électroniques sont orientées dans tous les sens. Le champ magnétique extérieur est la résultante des des champs magnétiques élémentaires, orientés au hasard, ont forcément une résultante nulle ; on trouve tout naturellement autant de champs élémentaires dans un sens que dans le sens opposé ; par conséquent, leurs effets s’annules à l’extérieur de l’atome et le résultat est nul.
Un aimant est un corps dans lequel les trajectoires électroniques sont parallèles. En conséquence, leurs effets s’ajoutent et se traduisent à l’extérieur par un champ magnétique. Cette explication fort simple, permet d’expliquer toutes les propriétés des aimants : la présence des pôles, de la ligne neutre, l’aimantation par influence, l’action des chocs sur certains aimants…
Quand nous approchons un barreau de fer doux (fer pur) d’un aimant, nous provoquons un changement d’orientation des trajectoires électroniques des atomes. Celles-ci basculent de façon à se placer toutes dans des plans parallèles : le barreau de fer devient aimanté par influence. Dès qu’on l’éloigne de l’aimant, les trajectoires commencent de nouveau à se répartir au hasard et l’aimantation disparaît. Mais, dans certains métaux comme l’acier, les trajectoires conservent au moins partiellement, l’orientation qu’on leur a donnée une première fois ; ils ont la propriété de devenir des aimants permanents.
Le champ magnétique est donc l’endroit où s’exerce la force magnétique. Celle-ci a évidemment une grandeur ou intensité et une direction.
Une aiguille aimantée protégée contre toute autre action magnétique s’oriente dans la direction du champ magnétique. Elle peut ainsi servir à en mesurer les effets.
En un endroit donné, la direction du champ magnétique est définie par une ligne de force. Il va sans dire que ces lignes n’ont aucune existence réelle et qu’en tout point d’un champ magnétique, il passe une ligne de force. A l’extérieur d’un aimant, on admet que le courant magnétique va du pôle nord vers le pôle sud. Il ne s’agit là que d’une vue de l’esprit, car en réalité, il ne circule rien dans un champ magnétique. D’une manière plus précise, on pourrait dire que le champ magnétique en un point est une modification des propriétés de l’espace en ce point.
Bien mieux, le champ magnétique créé par un aimant n’a point de limite. Théoriquement, il s’étend à l’infini autour des pôles. Mais l’attraction magnétique décroît comme le carré de la distance, si bien qu’à une distance relativement faible d’un aimant, l’attraction devient si petite qu’on peut la considérer comme nulle.
On peut, en quelque sorte, matérialiser le champ magnétique d’un aimant et ses lignes de force.
Plaçons une feuille mince de bristol sur un barreau aimanté et laissons tomber une légère pluie de fine limaille de fer. Dans le champ magnétique, chaque parcelle de fer devient un aimant et s’oriente dans le sens des lignes de force. On obtient ainsi un tracé appelé spectre magnétique qui est une véritable image matérialisée des lignes de force (figure 7).
Puisqu’une aiguille aimantée tend à prendre une direction déterminée, c’est qu’il existe autour de la terre un champ magnétique. Tout se passe à peu près comme si le globe était un vaste aimant dont les pôles seraient situés au voisinage des pôles géographiques. Il faut remarquer toutefois, que les pôles géographiques ne coïncident pas exactement avec les pôles magnétiques et que, d’ailleurs, ceux-ci se déplacent d’année en année (figure 8). Sur cette figure sont également représentées les lignes de force du champ de gravité. Nous remarquons qu’elles sont toutes dirigées vers le centre de la terre.
De même qu’une masse électrique représente une quantité d’électricité, de même une masse magnétique représente une quantité de magnétisme. On évalue une masse magnétique en mesurant la force qui s’exerce sur elle dans un champ magnétique dont on connaît l’intensité. Ainsi, par exemple, les deux pôles d’un barreau aimanté constituent deux masses magnétiques égales, mais de signes (ou de noms) contraires.
Selon qu’elles sont de noms contraires ou de même nom, deux masses magnétiques m et m’ s’attirent ou se repoussent avec une force proportionnelle au produit de leur grandeur et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare.
Cette loi dite loi de COULOMB pour le magnétisme, se traduit par la formule :
F = m . m’ / d2Dans laquelle :
- - F est la force exprimée en newton ;
- - m et m’ sont des masses magnétiques exprimées en weber ;
- - d2 est le carré de la distance séparant les deux masses, exprimée en mètre.
D’autre part, l’intensité d’un champ magnétique existant en un point se mesure par l’action de ce champ sur une aimant dont on connaît les caractéristiques.
L’examen de la loi ci-dessus nous permet de constater que l’intensité du champ magnétique d’un aimant est particulièrement grande au voisinage des pôles et qu’elle décroît rapidement quand on s’en éloigne.
L’intensité du champ magnétique, encore appelée induction magnétique, se mesure en tesla (symbole T) et se désigne par le symbole B. C’est ainsi que l’on dira que l’intensité du champ magnétique terrestre à PARIS est de l’ordre de 0,5 x 10-4 tesla.
Certains champs magnétiques ont dans une grande partie de leur étendue une intensité constante et une direction uniforme. On dit alors qu’il s’agit de champs magnétiques uniformes ; leur spectre magnétique est représenté par des lignes de force parallèles.
Lorsque l’on considère une surface donnée, on peut être amené à considérer une nouvelle grandeur qui est le flux d’induction magnétique. Celui-ci se mesure en weber (Wb) et son symbole est Ø (phi). Sa valeur est déterminée par la relation :
Ø = BSDans laquelle :
- - Ø est le flux d’induction magnétique en weber ;
- - B est l’induction magnétique en tesla ;
- - S est la surface considérée en mètre carré.
Plaçons un morceau de fer doux dans le champ d’un aimant et traçons le spectre magnétique. Nous observons que les lignes de force se rassemblent au voisinage du morceau de métal pour le traverser. Tout se passe comme si ces lignes, (imaginaires, nous le répétons), éprouvaient une certaine difficulté à circuler dans l’air alors qu’elles peuvent traverser le métal beaucoup plus facilement.
Le phénomène est encore beaucoup plus net s’il s’agit d’un champ magnétique uniforme. Au voisinage du fer, les lignes cessent d’être parallèles pour se rapprocher les unes des autres et pénétrer dans le métal (figure 9).
L’aspect de la figure suggère que le métal se laisse plus facilement pénétrer que l’air par des lignes de force. C’est bien cette idée que l’on exprime en disant qu’il est plus perméable.
La perméabilité (coefficient µ) d’un métal se mesure de la manière suivante :
Le métal est placé dans un champ magnétique uniforme. On mesure le flux magnétique à travers une surface quelconque, dans le champ puis dans le métal.
Le rapport entre les deux nombres mesure la perméabilité et est appelé coefficient de perméabilité.
Ce coefficient est égal à 1 dans le vide. Il est plus grand que 1 dans les corps magnétiques et plus petit que 1 dans les corps diamagnétiques, mais reste toujours dans ce cas très voisin de 1. Dans les gaz, la perméabilité est très voisine de 1 et on peut utiliser ce chiffre dans l’air sans faire d’erreur appréciable.
La perméabilité du fer, dans un champ de faible intensité, est de l’ordre de 2 500 ; dans les mêmes conditions, celle de la fonte grise est de l’ordre de 800. L’induction dans le fer est donc beaucoup plus grande que dans l’air et elle est donnée par la relation.
B = Boµ dans laquelle :
- Bo est l’induction dans l’air ;
- µ la perméabilité magnétique relative du fer.
Nous terminons ce chapitre consacré au magnétisme qui, loin d’avoir traité toutes les questions s’y rapportant, est très suffisant pour le niveau fixé à notre étude.
| · Cliquez ici pour la leçon suivante ou dans le sommaire prévu à cet effet. | ¨ Haut de page |
| · Page précédente | · Page suivante |
| ¨ Bas de page |
PHYSIQUE “3ème PARTIE”
2. – PRODUCTION DU RAYONNEMENT ÉLECTROMAGNÉTIQUELe moyen le plus simple et le plus généralement employé pour produire du rayonnement hertzien, est celui qui consiste à passer par l’intermédiaire des courants de haute fréquence. C’est la méthode qui fut utilisée par Hertz dans ses fameuses expériences et c’est encore la méthode employée aujourd’hui dans toutes les stations émettrices.
Dans l’esprit de bien des techniciens, rayonnement et courant de haute fréquence sont devenus synonymes. Pourtant, cette manière de voir n’est guère admissible et la chose apparaît évidente pour peu qu’on veuille bien y réfléchir.
Le courant de haute fréquence n’est pas du rayonnement pas plus qu’un courant téléphonique n’est une vibration sonore. Pour passer d’un état à l’autre, il faut utiliser un transformateur d’énergie qui est, dans le premier cas, un radiateur d’ondes ou antenne d’émission, et dans le second cas, un haut-parleur.
Un circuit électrique peut être le siège d’un courant de haute fréquence très intense sans qu’il y ait trace de rayonnement. Il est donc intéressant de chercher à comprendre comment on peut passer d’un courant de haute fréquence à une énergie rayonnée.
Il faut se garder de vouloir construire un modèle réel de rayonnement. Cela ne pourrait avoir aucun sens. C’est pourtant dans cette erreur qu’on tombe en traçant, comme dans la figure 10, les «composantes» du rayonnement comme deux champs électrique et magnétique orthogonaux (perpendiculaires) de même fréquence et en assimilant cette image à celle du rayonnement.
Il est facile de faire ressortir l’absurdité de cette conception. Tout d’abord, d’après les lois de Coulomb, l’intensité de chacun des champs doit décroître comme le carré de la distance alors que l’intensité de la composante rayonnée dans le vide absolu décroît comme la distance.
D’autre part, en superposant expérimentalement un champ magnétique et un champ électrique, on obtient pas de rayonnement. La force magnétique, comme la force électrique sont deux manifestations absolument indépendantes et qui n’ayant aucune réaction mutuelle.
Il faut donc considérer ces champs comme deux aspects particuliers du rayonnement, aussi différents du rayonnement lui-même qu’un dessin construit à deux dimensions est différent d’un modèle à trois dimensions.
Nous le répétons : il ne faut pas essayer de construire un modèle de rayonnement. Néanmoins, il n’est pas interdit de chercher à comprendre comment l’énergie peut passer de la forme électrique, à la forme rayonnée. Le rayonnement est de l’énergie détachée de son support de matière. Il s’agit d’expliquer comment un tel détachement peut se produire.
Imaginons qu’un électron, primitivement au repos, se mettre à se mouvoir. En d’autres termes, le conducteur qui le guide est le siège d’un courant électrique. Le résultat, nous le savons, c’est qu’un champ magnétique va se développer tout autour du conducteur.
On a cru longtemps que ce champ magnétique envahissait brusquement tout l’espace. Or, on sait, depuis EINSTEIN, qu’il ne peut pas y avoir d’action instantanée. Tous les phénomènes pouvant servir de signaux, quels qu’ils soient, se propagent avec une vitesse déterminée, dont le maximum possible est la vitesse de la lumière. C’est effectivement à la vitesse de cette dernière (300 000 km / s) que se propagent les champs magnétique et électrique. En conséquence, le champ magnétique envahira de proche en proche tout l’espace. Il apparaîtra au point P avant d’apparaître au point P’ (figure 11).
Quand nous aurons atteint un régime stationnaire, le champ au point P, comme au point P’ sera constant et ne dépendra que de la vitesse de l’électron et de la distance «d» qui sépare le point considéré du conducteur.
Au moment où le courant cesse de circuler, le champ magnétique disparaît mais, en temps normal, l’énergie totale qu’il représente apparaît sous forme d’un extra-courant ou d’une tension dite de self-induction. C’est ainsi que, lorsque l’on coupe certains circuits électriques, on voit apparaître une étincelle de rupture.
On peut imaginer assez facilement le phénomène de la self-induction au moment de la coupure du courant. Les lignes de force (lignes imaginaires) se replient progressivement autour de l’électron «e» et, en balayant le conducteur, alimentent la tension de self-induction. Les manifestations seront d’autant plus frappantes que l’énergie emmagasinée dans le champ magnétique apparaîtra en un temps plus réduit.
Mais supposons que le mouvement de l’électron puisse être brusquement arrêté. Que deviendrait l’énergie emmagasinée dans le champ magnétique ? Il lui serait alors impossible de se manifester dans le circuit puisque nous supposons que l’électron est immobilisé. Cet artifice nous permet, en quelque sorte, de détacher complètement l’énergie du champ magnétique de son support matériel. Elle apparaît alors sous forme de rayonnement.
Lorsque nous coupons brusquement un circuit électrique, nous faisons apparaître une étincelle de rupture mais, en même temps, nous créons une onde électromagnétique. L’expérience nous apprend que la simple rupture d’un circuit d’éclairage au voisinage d’un récepteur radio produit un bruit perturbateur. Plus la rupture est brusque et plus la composante rayonnée est relativement importante.
Cela s’explique. Si la rupture est relativement lente, la période de cessation du courant dure assez longtemps, grâce à l’étincelle de rupture, pour que la plus grande partie des lignes de force puisse revenir actionner l’électron avant qu’il ne soit contraint à l’arrêt absolu. Ainsi, le champ magnétique correspondant au point P aura le temps de revenir en «e», alors que celui de P’ pourra rester dans l’espace (figure 11). L’avantage d’un arrêt brutal nous apparaît ainsi beaucoup mieux car l’intensité du champ magnétique est inversement proportionnelle au carré de la distance.
Reprenons notre supposition précédente : un électron est au repos dans un conducteur. Pour produire une composante rayonnée d’intensité maximale, il faut :
1) Communiquer à l’électron avec la plus grande rapidité, une vitesse aussi élevée que possible.
Puisque l’électron est supposé parti d’une vitesse nulle, on traduira ce qui précède sous une autre forme en disant qu’il faut communiquer à l’électron une accélération aussi grande que possible.
2) Après quoi, il faut l’arrêter dans le minimum de temps, c’est-à-dire lui communiquer une accélération négative aussi élevée que possible en valeur absolue.
Dès que l’électron sera arrêté, la composante rayonnée sera lancée dans l’espace. Les conditions seront les mêmes qu’au début et tout pourra recommencer.
Pour obtenir du rayonnement d’une manière continuelle, nous serons donc amené à lancer notre électron, à l’arrêter, puis à recommencer. Le résultat sera exactement le même si, au lieu de faire progresser l’électron toujours dans le même sens, nous le lançons alternativement dans un sens, puis dans l’autre.
Mais lorsque les électrons d’un conducteur partent alternativement dans un sens, puis dans l’autre en conservant toujours la même position moyenne, on convient de dire que le conducteur est le siège d’un courant alternatif. Pour obtenir du rayonnement, il faut créer du courant alternatif.
L’intensité de courant dans un conducteur représente la quantité d’électricité, c’est-à-dire le nombre d’électrons qui traverse une section en une seconde. On conçoit, d’après cela que le conducteur de la figure 10, cette intensité sera proportionnelle à l’amplitude du déplacement de notre électron supposé unique. Comme il s’agit d’un courant alternatif, nous serons amenés à considérer l’amplitude maximale de l’oscillation (correspondant à l’intensité maximale).
Il est clair que pour une même amplitude, les accélérations transmises à l’électron seront d’autant plus importantes que la fréquence sera plus grande. L’accélération est en effet l’accroissement de vitesse dans l’unité de temps.
Nous avons précisé plus haut que la composante rayonnée devenait plus importante quand on augmentait l’accélération communiquée à l’électron. Il est donc certain que le rayonnement sera plus facile à mettre en évidence si l’on utilise des courants de haute fréquence.
Avec un courant de fréquence relativement faible, le rayonnement sera imperceptible au p”, parce que l’énergie du champ magnétique pourra, en quelque sorte, réintégrer le circuit. Si la fréquence est assez grande, l’énergie au point P’ restera dans l’espace, c’est-à-dire apparaîtra sous forme rayonnée.
Il découle des raisonnements précédents que la fréquence du rayonnement est nécessairement égale à celle du courant qui lui a donné naissance.
Comme le rayonnement se propage dans l’espace, on peut lui faire correspondre la notion de longueur d’onde.
Nous avons vu en Physique ce qu’il fallait entendre par période, fréquence, longueur d’onde (Nous verrons ces notions dans l’intitulé “Électronique”).
Nous y avons appris que la fréquence est le nombre de période par seconde et que ces deux grandeurs dont les symboles sont respectivement T et F sont reliées par les relations :
| T = 1 / F | OU | F = 1 / T |
Nous avons défini la fréquence comme étant le nombre de périodes par seconde. Il faut maintenant préciser que le mot période, s’il est didactique, n’est pas l’unité légale de la fréquence. Nous emploierons donc maintenant cette unité qui est le hertz (symbole H), nom du physicien allemand HERTZ (1857-1894). Les multiples sont le kilohertz (kHz), le mégahertz (MHz) et le gigahertz (GHz) qui valent respectivement 103 Hz, 106 Hz et 109 Hz.
Enfin, nous avons vu que la longueur d’onde est une distance. Plus précisément, c’est la distance que parcourt l’onde pendant une période (ou un hertz). Son symbole est 
(lettre «I» de l’alphabet grec qui se lit lambda).
La longueur d’onde , la fréquence F et la vitesse (v) des ondes électromagnétiques sont liées par les relations :
Étant donné que la vitesse de propagation considérée est de 300 000 000 m / s, nous pouvons écrire en respectant les correspondances des unités :
Si, désirant toujours obtenir la longueur d’onde en mètre, nous avons la fréquence exprimée en kilohertz, c’est-à-dire par un nombre 1 000 fois plus petit, il nous faut également exprimer la vitesse par un nombre 1 000 fois plus petit, c’est-à-dire, dans ce cas, en kilomètre, soit :
Enfin, si voulant toujours exprimer la longueur d’onde en mètre, nous avons comme unité de fréquence le mégahertz, donc un nombre 1 000 fois plus petit que le précédent, il nous faut encore diviser le nombre exprimant la vitesse par 1 000 et nous obtenons alors :
La figure 12 montre le spectre des ondes électromagnétiques dont les fréquences varient de quelques dizaines de hertz à plus de 5.105 MHz.
Nous pouvons y remarquer que les ondes correspondant à la lumière visible et qui se situent entre l’ultra-violet et l’infra-rouge occupent un espace relativement petit.
Nous attirons votre attention sur le fait que dans cette figure les graduations ne sont pas proportionnelles. C’est ainsi que les fréquences téléphoniques qui s’échelonnent de 300 Hz à 3 000 Hz occupent le même encombrement que les fréquences attribuées aux radars et satellites qui elles, se trouvent entre 10 MHz et 100 MHz. Si dans les deux cas le rapport entre les valeurs extrêmes varie de 1 à 10, les nombres exprimant les différences de fréquence entre ces deux valeurs extrêmes sont très éloignés l’un de l’autre.
Ainsi, pour les fréquences téléphoniques et les fréquences radar, nous avons bien :
3 000 / 300 = 100 / 10 = 10Mais si la bande des fréquences téléphoniques est 3 000 – 300 = 2 700 Hz, elle est de 100 – 10 = 90 MHz pour la bande radar, bien que ces deux bandes occupent à peu près le même arc de cercle.
Ce type de représentation est nécessaire car il serait pratiquement impossible d’employer une échelle linéaire sur une feuille de papier de format classique. En effet, si dans notre exemple nous avions convenu de représenter 1 kHz par 1 cm, il nous aurait fallu représenter la bande téléphonique par 2,7 cm, ce qui est très faisable, et la bande radar par 90 000 cm soit 900 mètres, ce qui est beaucoup moins réalisable !
Nous terminons ainsi nos notions de physique qui, nous espérons, vous aiderons à mieux saisir les autres parties de notre ouvrage (ou leçons théoriques des autres programmes) et, pour le moins, à augmenter vos connaissances.
FORMULAIRES MATHÉMATIQUES
2 “4ème
partie”
1. 2. – ÉLECTRONIQUE
FORMULE 74 -
(loi d’OHM) : Calcul de la résistance
d’un circuit connaissant la tension appliquée et l’intensité du courant.
Énoncé :
La résistance, exprimée en ohms,
s’obtient en divisant la tension exprimée en volts par l’intensité du courant,
exprimée en ampères (Voir théories 1 et 1.2 dans la rubrique
sommaire électronique).
R = V / I
R = résistance en W
(ohm)
V = tension en V (volt)
I = intensité du courant
en A (ampère)
Exemple :
Données : V = 150 V
; I = 0,2 A
Résistance du circuit :
R = 150 / 0,2 = 750 W
OBSERVATION : La
formule 74 peut aussi s’appliquer en exprimant la tension et l’intensité du
courant respectivement en sous-multiples (ou en multiples) du volt et de l’ampère
; en particulier, on peut exprimer la tension en millivolts (mV
; 1 mV = 0,001 V) et l’intensité du courant en milliampères (mA
; 1 mA = 0,001 A) et ainsi la résistance sera exprimée en ohms.
Cependant, si la tension est exprimée en volts
et l’intensité du courant en milliampères (mA ; 1 mA
= 0,001 A), la résistance sera exprimée
en kilo-ohms (kW
; 1 kW =
1 000 W).
On exprime quelquefois la tension
en volts et l’intensité du courant en microampères (µA
; 1 µA = 0,000 001 A) ; dans
ce cas, en appliquant la formule 74, on obtient la résistance exprimée en mégohms
(MW
; 1 MW =
1 000 000 W).
FORMULE
75 - (loi
d’OHM) : Calcul de la tension appliquée à un circuit connaissant la résistance
et l’intensité du courant.
V = RI
V = tension en V (volt)
R = résistance en W
(ohm)
I = intensité du courant
en A (ampère)
(Cette formule est tirée de la formule 74).
Exemple :
Données : R = 1500 W
; I = 0,1 A
Tension appliquée : V =
1500 x 0,1 = 150 V
OBSERVATION : La
formule 75 peut aussi s’appliquer en exprimant la résistance et l’intensité du
courant respectivement avec les sous-multiples de l’ohm et de l’ampère ;
on peut en particulier exprimer la résistance en kilo-ohms (kW)
et l’intensité du courant en milliampères (mA)
et ainsi la tension sera exprimée en volts.
FORMULE
76 - (loi
d’OHM) : Calcul de l’intensité du courant connaissant la résistance et
la tension appliquée au circuit.
I = V / R
I = intensité du courant
en A (ampère)
V = tension en V (volt)
R = résistance en W
(ohm)
(Cette formule est tirée de la formule 74).
Exemple :
Données : V = 90 V
; R = 180 W
Intensité du courant :
I = 90 / 180 = 0,5 A
OBSERVATION : la
formule 76 peut aussi s’appliquer en exprimant la tension et la résistance
respectivement avec les sous-multiples et multiples du volt et de l’ohm. Par
exemple, la tension peut être exprimée en millivolts (mV)
et la résistance en ohm (W)
: dans ce cas, l’intensité du courant sera exprimée en milliampères (mA)
; de même, la tension peut être exprimée en volts
et la résistance en kilo-ohms (kW),
l’intensité du courant sera exprimée en milliampères.
FORMULE
77 - Calcul de la résistance totale
d’un circuit formé de plusieurs résistances reliées en série connaissant
leurs valeurs.
Énoncé :
La valeur de la résistance équivalente à plusieurs résistances reliées
en série est obtenue en faisant la somme des valeurs de chaque résistance.
Rt = R1 + R2
+ Rn, etc...
Rt = résistance équivalente
totale
R1 = valeur de la première
résistance
R2 = valeur de la deuxième
résistance
Rn = valeur de la dernière
résistance
Les valeurs de résistance doivent toutes être
exprimées dans la même unité de mesure (W,
kW, MW).
- Exemple :
a)
Données : R1 = 300 W
(ohm) ; R2 = 1 kW
(kilo-ohm) = 1000 W
- Résistance totale :
Rt = 300 + 1000 = 1300 W
b) Données :
R1 = 2 kW ;
R2 = 0,5 kW
; R3 = 1500
W
= 1,5 kW
- Résistance totale
: Rt = 2 + 0,5 + 1,5 = 4 kW
c) Données : R1 =
0,5 MW (mégohm ; 1 MW
= 1 000 000 W) ; R2 = 2,7 MW
; R3 = 300 kW = 0,3 MW
; R4 = 1 MW
- Résistance totale
: Rt = 0,5 + 2,7 + 0,3 + 1 = 4,5 MW
FORMULE
78 - Calcul
de la conductance totale d’un circuit formé de plusieurs résistances reliées
en parallèle connaissant leurs valeurs.
Énoncé :
La conductance résultante de l’association de plusieurs résistances
reliées en parallèle s’obtient en faisant la somme des conductances de chaque
résistance, (voir théorie 2 dans la rubrique sommaire électronique).
Gt = G1 + G2 + … + Gn
Gt = conductance totale
G1 = conductance de la
première résistance
G2 = conductance de la
deuxième résistance
Gn = conductance de la
dernière résistance
Les valeurs des conductances doivent toutes être
exprimées dans la même unité de mesure (S
ou mS
ou µS).
- Exemple :
Données : G1 = 10 000 S ;
G2 = 15 000 S ; G3 = 5 000 S ; G4 = 60 000 S
Conductance totale : Gt = 10 000
S + 15 000 S + 5 000 S + 60 000 S = 90 000 S
FORMULE
79 - Calcul
de la résistance équivalente à plusieurs résistances reliées en parallèle
connaissant leurs valeurs.
Énoncé : La résistance équivalente à
plusieurs résistances reliées en parallèle s’obtient en effectuant les
calculs en trois temps : d’abord on calcule la conductance de chaque résistance
(formule 70) ; puis on calcule la conductance totale des résistances en
parallèle (formule 78) ; enfin, on calcule la résistance équivalente,
c’est-à-dire la résistance qui correspond à la conductance totale (formule
71).
Tous les calculs indiqués dans l’énoncé précédent
peuvent être traduits par la formule suivante :
Re = résistance équivalente
R1 = valeur de la première
résistance
R2 = valeur de la deuxième
résistance
Rn = valeur de la dernière
résistance
Les valeurs de résistance doivent toutes être
exprimées dans la même unité de mesure (W,
kW, MW).
- Exemple :
Données : R1 = 200 W
(ohm) ; R2 = 1 kW (kilo-ohm) = 1000 W
; R3 = 20 W ; R4 = 500 W
; R5 = 100 W
Résistance équivalente aux cinq résistances
reliées en parallèle :
FORMULE
80 - Calcul
de la résistance équivalente de deux résistances reliées en parallèle
connaissant leurs valeurs.
Énoncé :
La résistance équivalente de
deux résistances reliées en parallèle s’obtient en multipliant les valeurs
des deux résistances et en divisant le tout par la somme de ces deux valeurs.
Re = (R1 x R2) / ( R1 +
R2)
Re = résistance équivalente
R1 = valeur d’une résistance
R2 = valeur de l’autre résistance
Les valeurs de résistance doivent toutes être
exprimées dans la même unité de mesure (W,
kW, MW).
- Exemple :
Données : R1 = 2 kW
(kilo-ohm) = 2000 W ; R2 = 800 W
Résistance équivalente des deux résistances
reliées en parallèle :
Re = (2 000 x 800) / (2 000 +
800) = 1 600 000 / 2 800 
571,4 W (valeur approchée par défaut).
OBSERVATION : Pour
calculer la valeur de la résistance équivalente de deux résistances, on peut
aussi se servir de la formule 79.
FORMULE
81 -
Calcul de la valeur de la résistance
à mettre en parallèle avec une autre résistance de valeur connue pour obtenir
une résistance équivalente donnée.
Énoncé : La
valeur de la résistance à mettre en parallèle avec une autre résistance de
valeur connue pour obtenir une résistance équivalente donnée se calcule en
multipliant la valeur de la résistance connue par la résistance équivalente,
le tout divisé par la différence de ces deux valeurs.
Ri = (R x Re) / (R
- Re)
Ri = résistance inconnue
R = valeur de la résistance
disponible
Re = résistance équivalente
que l’on veut obtenir
Les valeurs de résistance doivent toutes être
exprimées dans la même unité de mesure (W,
kW, MW).
- Exemple :
Données : R = 2000 W
(ohm) ; Re = 600 W
Résistance inconnue : Ri = (2
000 x 600) / (2 000 – 600) = 1 200 000 / 1 400 = 857 W
(valeur approchée par défaut)
FORMULE
82 -
Calcul de la résistance équivalente
à deux ou plusieurs résistances de même valeur reliées en parallèle.
Énoncé :
La résistance équivalente de
deux ou plusieurs résistances de valeurs égales reliées en parallèle
s’obtient en divisant la valeur par le nombre de résistances.
Re = R / n
Re = résistance équivalente
R = valeur des résistances
n = nombre de résistances
La résistance équivalente sera exprimée dans
la même unité de mesure que celle utilisée pour exprimer la valeur des résistances.
- Exemple :
a)
Données : R = 1 200 W
(ohm) ; n = 2
- Résistance équivalente :
Re = 1 200 / 2 = 600 W
b)
Données : R = 150 kW (kilo-ohm) ; n = 3
- Résistance équivalente :
Re = 150 / 3 = 50 kW
c)
Données : R = 2 MW (mégohm) ; n
= 4
- Résistance équivalente
: Re = 2 / 4 = 0,5 MW = 500 kW
FORMULE
83 -
Calcul de la force électromotrice
(f.e.m.) obtenue en reliant en série deux
ou plusieurs piles, connaissant la force électromotrice de chaque pile.
Énoncé : En
mettant en série deux ou plusieurs piles, on obtient une force électromotrice
égale à la somme des forces électromotrices de chaque pile.
Et = E1 + E2 + … + En
Et = force électromotrice
totale
E1 = force électromotrice
de la première pile
E2 = force électromotrice
de la deuxième pile
En = force électromotrice
de la dernière pile.
Les forces électromotrices doivent toutes être
exprimées dans la même unité de mesure.
- Exemple :
Données : E1 = 4,5 V (volt)
; E2 = 4,5 V ; E3 = 9 V ; E4 = En = 9 V
Force électromotrice totale : Et
= 4,5 + 4,5 + 9 + 9 = 27 V.
FORMULE
84 -
Calcul de la résistance interne
d’une pile connaissant sa f.e.m. (tension à
vide lorsqu’elle ne fournit aucun courant) et la tension en charge lorsqu’elle
fournit un courant donné.
Énoncé : La
résistance interne d’une pile est donnée par la différence entre la f.e.m.
et la tension en charge, le tout divisé par le courant fourni.
Ri = (E – V) / I
Ri = résistance interne
en W (ohm)
E = f.e.m. “tension
à vide” en V (volt)
V = tension en charge en
V (volt)
I = courant fournit en A
(ampère).
- Exemple :
Données : E = 4,5 V
; V = 4,2 V ; I = 0,3 A
Résistance interne
: Ri = (4,5 – 4,2) / 0,3 = 0,3 / 0,3 = 1 W
FORMULE
85 - Calcul
de la puissance électrique d’un appareil connaissant la tension appliquée et
l’intensité du courant absorbé.
Énoncé : La
puissance électrique, exprimée en watts, s’obtient en multipliant la tension,
exprimée en volts, par l’intensité du courant exprimée en ampères.
P = VI
P = puissance électrique
en W (watt)
V = tension en V (volt)
I = intensité du courant
en A (ampère)
- Exemple :
Données : V = 200 V
; I = 1,5 A
Puissance : P = 200 x 1,5
= 300 W
FORMULE
86 -
Calcul de l’intensité du courant
absorbé par un appareil connaissant la tension appliquée et sa puissance électrique.
I = P / V
I = intensité du courant
absorbé en A (ampère)
P = puissance électrique
en W (watt)
V = tension appliquée en
V (volt)
(Cette formule est tirée de la formule 85)
- Exemple :
Données : P = 300 W ;
V = 220 V
Intensité du courant :
I = 300 / 220 = 1,36 A (valeur approchée
par défaut).
FORMULE
87 - Calcul
de la tension appliquée à un appareil connaissant l’intensité du courant
absorbé et la puissance électrique de celui-ci.
V = P / I
V = tension appliquée en
V (volt)
P = puissance électrique
en W (watt)
I = intensité du courant
absorbé en A (ampère).
(Cette formule est tirée de la formule 85).
- Exemple :
Données : P = 1 200 W
; I = 5,455 A
Tension appliquée : V =
1 200 / 5,455 = 220 V (valeur approchée)
FORMULE
88 -
Calcul de l’énergie électrique consommée
par un appareil connaissant sa puissance électrique et sa durée de
fonctionnement.
Énoncé : L’énergie
consommée par un appareil, exprimée en watts-secondes, s’obtient en
multipliant la puissance de l’appareil, exprimée en watts, par le temps de
fonctionnement exprimé en secondes.
W = Pt
W = énergie consommée
en W.s (watt-seconde)
P = puissance électrique
en W (watt)
t = temps en s (secondes)
- Exemple :
Données : P = 600
W ; t = 5 mn (minutes) = 300 s
Énergie consommée : W =
600 x 300 = 180 000 W.s
OBSERVATION : Le
watt-seconde (W.s), unité de mesure utilisée
pour exprimer la quantité d’énergie électrique consommée, est
équivalent à 1 joule (J),
unité de mesure de l’énergie et du travail mécanique.
1 W.s = 1 J
En pratique, pour indiquer la consommation
domestique et industrielle de l’énergie électrique, on utilise un multiple du
watt-seconde, c’est-à-dire le kilowatt-heure (kW.h).
1 kW.h = 3
600 000 W.s ; 1 W.s = 1 / 3 600 000 kW.h
Le résultat de l’exemple précédent peut
s’exprimer en kW.h au moyen de l’équivalence
:
180 000 W.s = 180 000 / 3
600 000 kW.h = 0,05 kW.h
Si dans la formule 88, la puissance est exprimée
en kilowatts (kW ; 1 kW = 1000 W) et
le temps en heures (h, 1 h = 60 mn = 3 600 s), l’énergie
consommée sera exprimée en kilowatts-heures.
Par exemple, si P = 800
W = 0,8 kW et “t”
= 30 mn = 0,5 h, l’énergie consommée sera de :
W = 0,8 x 0,5
= 0,4 kW.h
FORMULE
89 -
Calcul de la puissance électrique
dissipée par effet Joule dans une résistance connaissant l’intensité du
courant et la valeur de cette résistance.
Énoncé : La
puissance électrique, exprimée en watts, dissipée dans une résistance
s’obtient en multipliant la résistance, exprimée en ohms, par le carré du
courant qui la traverse, exprimé en ampères.
P = RI2
P = puissance électrique
en W (watt)
R = résistance en W
(ohm)
I = intensité du courant
en A (ampère)
- Exemple :
Données : R = 125 W
; I = 0,3 A
Puissance électrique
dissipée : P = 125 x 0,32 = 125 x 0,09 = 11,25 W
FORMULE
90 - Calcul
de la valeur d’une résistance connaissant la puissance électrique dissipée et
l’intensité du courant qui la traverse.
R = P / I2
R = résistance en W
(ohm)
P = puissance dissipée
en W (watt)
I = intensité du courant
en A (ampère)
(Cette formule est tirée de la formule 89)
- Exemple :
Données : P = 100 W
; I = 0,5 A
Résistance : R = 100 /
0,52 = 100 / 0,25 = 400 W
FORMULE
91- Calcul
de l’intensité du courant qui parcourt une résistance connaissant la puissance
électrique dissipée et la valeur de cette résistance.
Énoncé : L’intensité
du courant, exprimée en ampères, qui parcourt une résistance, s’obtient en
divisant la puissance dissipée exprimée en watts par la résistance exprimée
en ohms, et en extrayant la racine carrée du quotient obtenu.
FORMULE
92 - Calcul
de la puissance électrique dissipée par effet Joule dans une résistance
connaissant la tension appliquée et la valeur de cette résistance.
Énoncé : La
puissance électrique, exprimée en watts, dissipée dans une résistance
s’obtient en divisant le carré de la tension, exprimée en volts, par la résistance
exprimée en ohms.
P = V2 / R
P = puissance électrique
en W (watt)
V = tension en V (volt)
R = résistance en W
(ohm)
- Exemple :
Données : V = 220 V
; R = 242 W
Puissance électrique
dissipée : P = 2202 / 242 = 48 400 / 242 = 200 W
FORMULE
93 -
Calcul de la valeur d’une résistance
connaissant la puissance électrique dissipée et la tension appliquée.
R = V2 / P
R = résistance en W
(ohm)
V = tension appliquée en
V (volt)
P = puissance électrique
dissipée en W (watt)
(Cette formule est tirée de la formule 92).
- Exemple :
Données : 220 V ;
P = 400 W
Résistance : R =
2202 / 400 = 48 400 / 400 = 121 W
FORMULE
94 - Calcul
de la tension appliquée à une résistance connaissant la puissance électrique
dissipée et la valeur de cette résistance.
Énoncé :
La tension appliquée à une résistance,
exprimée en volts, s’obtient en multipliant la puissance dissipée exprimée en
watts, par la résistance exprimée en ohms et en extrayant la racine carrée du
produit obtenu.
FORMULE
95 - Calcul
de la quantité de chaleur obtenue en transformant par effet Joule une quantité
d’énergie électrique donnée (pour le calcul de l’énergie électrique, voir
la formule 88).
Énoncé : La
quantité de chaleur exprimée en kilo-calories produite dans une résistance
par effet Joule s’obtient en multipliant l’énergie électrique exprimée en watts-secondes
(Joule) dissipée dans cette résistance par
le nombre 0,000238.
Qc = 0,000238 W (Valeur
approchée par défaut)
Qc = quantité de chaleur
en kilo-calories
W = énergie électrique
en W.s (watt-seconde) ou bien en J (Joule)
- Exemple :
Données : Énergie
électrique dissipée par une résistance W = 0,5 kW.h (kilowatt-heure)
= 3 600 000 x 0,5 = 1 800 000 W.s
(pour l’équivalence entre le kilowatt-heure et le watt-seconde, voir
l’observation qui suit la formule 88).
Quantité de chaleur produite par la résistance :
Qc = 0,000 238 x 1 800 000 = 428,4 kcal.
FORMULE
96 -
Calcul de la résistance à chaud d’un conducteur connaissant
l’augmentation de température du matériau et la résistance du conducteur à
la température ambiante (20° C).
Énoncé : En
augmentant la température d’un conducteur, on augmente sa résistance électrique.
Pour le calcul de la résistance à chaud d’un conducteur, il faut compléter l’énoncé
de la façon suivante : la résistance à chaud, exprimée en ohms,
s’obtient en additionnant la résistance du conducteur à la température
ambiante (20° C) avec le produit du
coefficient de température du matériau, de la résistance à la température
ambiante et de l’augmentation de température exprimée en degrés Celsius.
Les coefficients de température des principaux
matériaux conducteurs sont reportés dans la dernière colonne de droite du
tableau III (nous reportons la même figure 1 ci-dessous).
Rt
= résistance à chaud (à la température t)
en W (ohm)
R20
= résistance à froid (à la température de 20° C)
en W (ohm)
=
coefficient de température du matériau
t
= température du conducteur chaud en °C
(degrés Celsius)
t – 20
= augmentation de température en °C (degrés
Celsius)
- Exemple :
Données relatives à un
conducteur de tungstène : R20 = 30 W (résistance à
froid du conducteur) ;
= 0,0045 (coefficient de température du tungstène) ; t = 320° C
(température du conducteur).
Augmentation de température
du conducteur : t – 20 = 320 – 20 = 300° C
Résistance à chaud du
conducteur : Rt = 30 + 0,0045 x 30 x 300 = 30 + 40,5 = 70,5 W
FORMULE
97 -
Calcul de la résistance par mètre à froid (à 20°
C) d’un conducteur connaissant sa section et la résistivité du matériau.
(R / m) = (p /
S)
R / m = résistance
par mètre en W / m (ohm par mètre)
p = résistivité
en µW.m (microhm-mètre)
S = section en mm2
* Cette formule est tirée de la formule 64
(“voir formulaire mathématiques 2 – 1ère partie”) en donnant à la
longueur du conducteur la valeur de 1 mètre *.
- Exemple :
Données relatives à un conducteur de
nickel-chrome : p = 0,9 µW.m
(résistivité du nickel-chrome à température de 20°
C ; tableau III, figure 1) ; S =
0,007854 mm2 (section du conducteur).
Résistance par mètre (à 20°
C) : R / m = 0,9 / 0,007854 = 115 W / m
(valeur approchée)
OBSERVATION : Dans le tableau IV
(“voir le formulaire maths 2, 1ère partie, figure 2″), on a reporté
les valeurs de résistance par mètre des conducteurs de nickel-chrome,
constantan et manganin pour les sections d’usage le plus fréquent dans les
applications électriques.
FORMULE
98 – Calcul de la résistance par mètre
à chaud d’un fil de chauffage connaissant la résistance par mètre à froid
(formule 97), le coefficient de température du matériau (tableau III, figure
1) et la température de fonctionnement du fil de chauffage.
(R / m)t = (R / m)20
+ (R
/ m)20 (t – 20)
(R / m)t = résistance par mètre
à la température de fonctionnement du fil de chauffage en W
/ m (ohm par mètre).
(R / m)20 = résistance
par mètre à la température ambiante en W / m (ohm
par mètre)
= coefficient de température du matériau
t = température de
fonctionnement du fil de chauffage en ° C (degrés Celsius)
t – 20 = augmentation de température
en ° C (degrés Celsius)
(Cette formule est tirée de la formule 96 en
substituant le symbole de la résistance (R)
à celui de la résistance par mètre, R / m).
- Exemple :
Données :
(R / m)20 = 5,65
W
/ m (résistance
par mètre à froid d’un fil de nickel-chrome ayant un diamètre de 0,45
mm ; tableau IV, figure 2) ;
= 0,00011 (coefficient de température du nickel-chrome ;
tableau III, figure 1) ; t
= 1020° C (température de fonctionnement du fil de chauffage).
Augmentation de température
pendant le passage de la température ambiante à la température de
fonctionnement du fil : t – 20 = 1020 – 20 =
1000° C
Résistance par mètre
à 1020° C : (R / m)t = 5,65 + 0,00011 x 5,65 x
1000 = 5,65 + 0,6215 = 6,2715
6,28 W
/ m (valeur approchée par excès).
OBSERVATION : Le calcul de la résistance
par mètre à chaud d’un fil de chauffage est nécessaire pour en déterminer la
longueur quand on connaît la valeur de la résistance qu’il doit avoir pendant
le fonctionnement, c’est-à-dire sa résistance à chaud. Pour mieux expliquer
avec un exemple pratique, voyons comment on doit procéder dans le calcul de la
résistance au nickel-chrome d’un appareil de chauffage électrique.
Calcul de la résistance d’un appareil de
chauffage (four électrique, étuve électrique, etc…).
Données : Le
four est alimenté avec la tension de 220 V
et doit dissiper une puissance de 600 W à
la température d’environ 1020° C (température
de fonctionnement du fil de chauffage).
Procédé :
1) On calcule l’intensité du courant qui
alimente le four dans les conditions normales de fonctionnement ; dans ce
but, on utilise la formule 86 :
I = P / V = 600
/ 220 =
2,73 A (valeur approchée par excès)
2) En se basant sur la valeur du courant
calculé, on choisit la section du fil ; pour le courant de 2,73
A, il faudra choisir un fil de nickel-chrome de diamètre 0,45
mm correspondant à la section de 0,159043
mm2 (voir tableau 4 de la figure 2, 1ère théorie). D’une
façon générale, pour faire ce choix, il faut connaître la densité de
courant nécessaire pour maintenir le fil de nickel-chrome à la température de
fonctionnement.
Par la suite, dans le formulaire 4, nous verrons
comment procéder pour calculer la section d’un fil conducteur connaissant la
densité de courant admise par le matériau et l’intensité du courant qui doit
passer dans le fil ; il vous suffit de connaître maintenant les diamètres
des fils qui sont indiqués dans la cinquième colonne en partant de la gauche
sur le tableau V (figure 3 ci-dessous) en correspondance avec les diverses
valeurs du courant reportées dans la troisième colonne.
3) On calcule la valeur de la résistance
à chaud que le fil doit présenter pour dissiper la puissance de
600 W, la tension de 220 V étant
appliquée ; on utilise dans ce but la formule 93 :
R = V2 / P = 2202
/ 600 = 48 400 / 600 = 80,666
80,67 W
(valeur approchée par excès)
4) En consultant le tableau IV (figure 2,
formulaire maths2, 1ère partie), on détermine la résistance par mètre à
froid du fil de nickel-chrome ayant un diamètre de 0,45
mm (section de 0,159043 mm2)
; la valeur indiquée sur le tableau est de 5,65
W
/ m.
5) Connaissant la valeur de la résistance
par mètre à froid du fil nickel-chrome choisi, on calcule la valeur de la résistance
par mètre de ce même fil à la température de fonctionnement (1020°
C) ; dans ce but, on utilise la formule 98 :
(R / m)t = (R / m)20
+ (R
/ m)20 (t – 20)
= 5,65 + 0,00011 x 5,65 x 1000
= 5,65 + 0,6215 = 6,2715
6,28 W / m (valeur approchée par excès)
On peut éviter ce calcul en reprenant la valeur
de la résistance par mètre à chaud dans le tableau V (figure 3) en
correspondance avec les valeurs de 600 W et 220
V.
6) Connaissant la valeur de la résistance
à chaud du fil (80,67 W)
et la valeur de la résistance par mètre à chaud (6,28
W), on calcule la longueur du fil en
divisant la première valeur par la seconde :
80,67 / 6,28 = 12,84 mètres
Pour construire un four électrique fonctionnant
avec la tension de 220 V, à la température
d’environ 1000° C (1020°
C dans les calculs) de façon à dissiper une puissance de 600
W, on peut donc utiliser un fil de nickel-chrome ayant la résistivité
de 0,9 µW.m
(tableau III, figure 1).
La valeur de la résistivité du nickel-chrome
n’a pas été mentionnée dans le calcul, mais a été introduite précédemment
dans la formule 97 pour calculer les résistances par mètre indiquées dans le
tableau IV (figure 2, “1ère partie du formulaire mathématiques N°
2″), c’est-à-dire les valeurs des résistances par mètre à froid utilisées
successivement dans la formule 98 pour calculer les résistances par mètre à
chaud indiquées dans le tableau V (ci-dessus).
FORMULAIRES
MATHÉMATIQUES 3
“5ème PARTIE”
NOTA :
Comme dans les formulaires précédents,
les unités utilisées dans les calculs sont empruntées au système S.I..
Les formules contenues dans ce rappel concernent
l’électrotechnique
et les
condensateurs.
FORMULE
99 -
Calcul de la puissance électrique d’un appareil relié au secteur connaissant
le temps de fonctionnement, le nombre correspondant de tours du disque visible
au compteur et le nombre de tours par kilowatt-heure indiqué pour chaque type
de compteur.
Énoncé :
La puissance électrique, exprimée en
watts, s’obtient en multipliant par 3
600 000 le nombre de tours du disque tournant (figure 1) et en
divisant le produit obtenu par le nombre de tours par kilowatt-heure (2
160 tours / kW.h dans le cas du compteur de la figure 1) et par le
temps de fonctionnement exprimé en secondes.
P = (3 600 000
x n) / (N x t)
P = puissance
électrique en W (watt)
n = nombre de
tours du disque du compteur
N = nombre de
tours par kilowatt-heure (tours / kW.h) du compteur
t = temps en
secondes mis par le disque pour accomplir ‘n’ tours
Exemple
:
Données : n = 18 tours (comptés
lorsque l’appareil dont on veut déterminer la puissance électrique est branché
au secteur) ; N = 2 160 / kW.h (indiqués
sur le cadran du compteur de la figure 1) ;
t = 30 s (temps
mis pour accomplir 18 tours, mesuré avec un chronomètre).
Puissance électrique
de l’appareil :
P = (3 600 000
x 18) / (2 160 x 30) = 64 800 000 / 64 800 = 1 000 W
OBSERVATION :
Pour établir le nombre de tours
(n) accomplis
par le disque tournant du compteur, on compte combien de fois, pendant le temps
considéré, le petit trait rouge ou noir (figure 1) passe devant la petite fenêtre
à travers laquelle on voit ce disque
Sur les compteurs, l’indication du
nombre de «tours au kilowatt-heure» est presque toujours remplacée par
l’indication équivalente «tour
par kilowatt-heure» ou bien par le symbole
tours / kW.h.
FORMULE
100 – Calcul
du coût de l’énergie électrique consommée par un appareil connaissant la
quantité d’énergie consommée et le prix unitaire, exprimé en francs par
kilowatt-heure.
C = pW
C = coût de l’énergie
électrique en F (franc)
p = prix
unitaire de l’énergie électrique en F / kW.h (franc par kilowatt-heure)
W = énergie électrique
en kW.h (kilowatt-heure)
-
Exemple
:
Données :
p = 0,40 F kW.h ; W = 97,8 kW.h (voir
les indications portées à la figure 1).
Coût : C
= 0,40 x 97,8 = 39,12 F
FORMULE
101 -
Calcul du coût à l’heure de l’énergie
consommée par un appareil électrique connaissant la puissance de l’appareil et
le prix unitaire de l’énergie.
Énoncé :
Le coût à l’heure, exprimé en francs, de
l’énergie consommée par un appareil électrique s’obtient en divisant par
1 000 le
produit entre la puissance, exprimée en watts, et le prix unitaire, exprimé en
francs par kilowatt-heure.
C / h = Pp / 1
000
C / h = coût
à l’heure en F (franc)
P = puissance
électrique en W (watt)
p = prix
unitaire de l’énergie électrique en F / kW.h (franc par kilowatt-heure)
-
Exemple
:
Données :
P = 100 W (puissance
d’une petite lampe) ; p
= 0,40 F / kW.h
Coût à
l’heure : C / h = (100 x 0,40) / 1 000 = 0,04 F soit 4 centimes
FORMULE
102 -
Calcul de la capacité d’un corps,
connaissant la quantité d’électricité et le potentiel de ce corps.
Énoncé :
La capacité électrique, exprimée en
farads, s’obtient en divisant la quantité d’électricité, exprimée en
coulombs, par le potentiel exprimé en volts.
C = Q / V
C = capacité
électrique en F (farad)
Q = quantité
d’électricité en C (coulomb)
V = potentiel
(volt)
-
Exemple
:
Données : Q =
0,00002 C ; V = 10 V
Capacité électrique
: C = 0,00002 / 10 = 0,000002 = 2 x 10-6 F
OBSERVATION :
Puisque la capacité électrique
calculée est relativement petite, on peut exprimer le résultat en microfarads
(µF),
1 µF = 10-6 F.
D’où
C = 2 µF
FORMULE
103 - Calcul
de la capacité d’un condensateur, connaissant la quantité d’électricité présente
sur une des armatures et la différence de potentiel entre les armatures.
Énoncé :
La capacité d’un condensateur, exprimée en farads s’obtient en divisant la
quantité d’électricité exprimée en coulombs, présente sur l’une ou l’autre
armature, par la différence de potentiel entre ces armatures, exprimée en
volts.
C = Q / V
C = capacité
du condensateur en F (farad)
Q = quantité
d’électricité en C (coulomb)
V = différence
de potentiel en V (volt)
La présente formule est semblable
à la formule 102
et les grandeurs qu’elle contient sont exprimées dans les mêmes unités
de mesure ; c’est pourquoi les procédés de calcul sont identiques dans
les deux cas.
-
Exemple
:
Données : Q =
0,000008 C ; V = 200 V
Capacité du
condensateur : C = 0,000008 / 200 = 4 x 10-8 F
OBSERVATION :
D’une façon générale, les capacités
des condensateurs sont très petites par rapport à l’unité de mesure, qui est
le farad, et pour cette raison, on utilise couramment les sous-multiples du
farad, soit le microfarad (µF
;
1 µF = 10-6
F), soit
le nanofarad (nF
;
1 nF = 10-9
F) et le picofarad
(pF
; 1 pF = 10-12).
En exprimant le résultat de l’exemple précédent, en utilisant les divers
sous-multiples du farad, on obtient :
C = 4 x 10-8
F = 0,04 µF = 40 nF = 40 000 pF
FORMULE
104 -
Calcul de la quantité d’électricité présente sur l’une ou l’autre armature
d’un condensateur, connaissant la différence de potentiel entre les armatures
et la capacité du condensateur.
Q = CV
Q = quantité
d’électricité en C (coulomb)
C = capacité
en F (farad)
V = différence
de potentiel en V (volt)
(Cette formule est tirée de la
formule 103).
-
Exemple :
Données : C = 20
nF = 2 x 10-8 F (pour
l’équivalence entre le nanofarad et l’unité farad,
voir l’observation qui suit la formule 103)
; V
= 500 V.
Quantité d’électricité présente
sur une armature du condensateur :
Q = 2 x 10-8
x 500 = 10-5 C
FORMULE
105 -
Calcul de la différence de potentiel (tension) existant entre les
armatures d’un condensateur, connaissant la quantité d’électricité présente
sur une armature et la capacité du condensateur.
V = Q / C
V = différence
de potentiel en V (volt)
Q = quantité
d’électricité en C (coulomb)
C = capacité
en F (farad)
(Cette formule est tirée de la
formule 103).
-
Exemple :
Données : Q =
0,0006 C ; C = 5 µF = 5 x 10-6 F
(pour l’équivalence entre le microfarad et
l’unité de mesure farad, voir
l’observation qui suit la formule 103).
Différence de potentiel existant
entre les armatures du condensateur :
V = 0,0006 / (5
x 10-6) = 120 V
FORMULE
106 -
Calcul de la constante diélectrique absolue d’un matériau, connaissant la
constante diélectrique absolue du vide (ou de l’air) et la constante diélectrique
relative au vide (ou à l’air) de ce même matériau.
Énoncé :
La constante diélectrique absolue d’un matériau,
exprimée en picofarad par mètre, s’obtient en multipliant la constante diélectrique
relative au vide (ou à l’air) du matériau par la constante diélectrique
absolue du vide (ou de l’air), exprimée en picofarad par mètre.
e
= eo
x er
e =
constante diélectrique absolue d’un matériau en pF / m (picofarad par mètre).
eo
= constante diélectrique absolue du vide (8,86 pF / m (picofarad par mètre).
er
= constante diélectrique relative du matériau (voir tableau VI, figure 2).
-
Exemple :
Données : eo
= 8,86 pF / m ; er
= 5 (constante diélectrique relative au carton bakélisé, voir
tableau VI, figure 2).
Constante diélectrique
absolue du carton bakélisé :
e =
8,86 x 5 = 44,3 pF / m
OBSERVATION :
Parfois, dans les livres de physique
et dans les manuels techniques, cette même constante diélectrique absolue est
exprimée en farad par mètre (F / m). Le
farad par mètre est l’unité de mesure adoptée dans le système international,
le picofarad
par centimètre et le
picofarad par mètre
sont des sous-multiples de la même unité :
1 pF / cm = 10-10
F / m ; 1 F / m = 1010 pF / cm
1 pF / m = 10-12
F / m ; 1 F / m = 1012 pF / m
1 pF / cm = 100
pF / m ; 1 pF / m = 0,01 pF / cm
Sur le tableau VI figure 2, on a
indiqué les constantes diélectriques relatives au vide, ou à l’air sec, de
quelques matériaux isolants qui peuvent présenter un intérêt pour l’électronicien.
FORMULE
107 -
Calcul de la constante diélectrique relative
d’un matériau, connaissant les constantes diélectriques absolues du vide (ou
de l’air) et du matériau.
er
= e
/ eo
er
= constante diélectrique relative du matériau
e
= constante diélectrique absolue du matériau en pF
/ m (picofarad par mètre)
eo
= constante diélectrique absolue du vide 8,86 pF / m (picofarad / m)
(Cette formule est tirée de la
formule 106).
-
Exemple :
Données : e
= 16,834 pF / m
(constante diélectrique absolue de la cire
d’abeilles).
eo
= 8,86 pF / m (constante diélectrique
absolue du vide ; voir l’observation qui suit la formule 106.
Constante diélectrique
relative à la cire d’abeilles : er
= 16,834 / 8,86 = 1,9
(Valeur indiquée au tableau VI,
figure 2).
FORMULE
108 -
Calcul de la capacité d’un condensateur à
air, formé par deux plaques égales, planes et parallèles, connaissant leur
surface, la distance entre les superficies en présence et la constante diélectrique
absolue de l’air.
Énoncé : La
capacité du condensateur à air (figure 3-a), exprimée en picofarad, s’obtient
en multipliant la constante diélectrique absolue de l’air (8,86
pF / m ; formule
106) par la surface d’une plaque, exprimée en centimètres carrés et en
divisant le produit obtenu par la distance entre les plaques, exprimée en
millimètres et multipliée par 10.
C = (eo
x S) / (10 x d)
C = capacité
du condensateur en pF (picofarad)
eo
= constante diélectrique absolue de l’air = 8,86
pF / m (picofarad
par mètre)
S = surface
d’une plaque en cm2
d = distance
entre les plaques en mm.
-
Exemple :
(figure 3-a)
Données :
eo
8,86 pF / m ; S = 64 cm2 ; d = 1,5 mm
Capacité du
condensateur : C = (8,86 x 64) / (10 x 1,5) = 567,04 / 15 = 37,8 pF
FORMULE
109 -
Calcul de la capacité d’un condensateur à
air formé par trois ou plusieurs plaques égales, planes et parallèles, reliées
comme montré figure 3-b, connaissant la surface des plaques, la distance qui
les sépare, le nombre de plaques et la constante diélectrique absolue de
l’air.
Énoncé :
La capacité d’un condensateur à air (figure
3-b) s’obtient en multipliant la capacité de deux plaques adjacentes, calculée
avec la formule 108, par le nombre de plaques moins une.
C = (Eo
x S) / (10 x d) x (n – 1)
C = capacité
du condensateur en pF (picofarad)
Eo
= constante diélectrique absolue de l’air = 8,86
pF / m (picofarad par mètre)
S = surface
d’une plaque en cm2
d = distance
entre les plaques en mm
n = nombre de
plaques
-
Exemple :
Données :
Eo
= 8,86 pF / m ; S = 12 cm2 ; d = 0,8 mm
; n = 11 plaques
Capacité
du condensateur :
C = (8,86 x 12)
/ (10 x 0,8) x (11 – 1) = (106,32 / 
x 10 = 13,29 x 10 = 132,9 pF
FORMULE
110 – Calcul
de l’énergie électrique emmagasinée par un condensateur, connaissant la
quantité d’électricité présente sur l’une ou l’autre armature et la tension
existante entre elles.
Énoncé :
L’énergie emmagasinée par un condensateur,
exprimée en joules, s’obtient en multipliant la quantité d’électricité présente
sur une armature, exprimée en coulombs, par la tension entre les armatures,
exprimée en volts et en divisant par 2 le produit obtenue.
W = QV / 2
W = énergie électrique
en J (joule)
Q = quantité
d’électricité en C (coulomb)
V = tension en
V (volt)
-
Exemple :
Données :
Q = 0,0004 C
(quantité
d’électricité présente sur une armature du condensateur) ;
V = 200 V (tension
entre les armatures du condensateur).
Énergie électrique
emmagasinée par le condensateur :
W = (0,0004 x
200) / 2 = 0,08 / 2 = 0,04 J
FORMULE
111 -
Calcul de la quantité d’électricité présente
sur l’armature d’un condensateur, connaissant la valeur de l’énergie emmagasinée
par le condensateur et la tension existant entre ses armatures.
Q = 2W / V
Q = quantité
d’électricité en C (coulomb)
W = énergie électrique
en J (joule)
V = tension en
V (volt)
(Cette formule est tirée de la
formule 110)
-
Exemple :
Données :
W =
0,08 J
= 0,08 J (énergie
emmagasinée par le condensateur).
V = 160 V (tension
entre les armatures du condensateur).
Quantité d’électricité
présente sur une armature du condensateur :
Q = (2 x 0,08)
/ 160 = 0,16 / 160 = 0,001 C
FORMULE
112 – Calcul
de la tension existant entre les armatures d’un condensateur, connaissant la
valeur de l’énergie emmagasinée et la quantité d’électricité présente sur
une armature.
V = 2W / Q
V = tension en
V (volt)
W = énergie électrique
en J (joule)
Q = quantité
d’électricité en C (coulomb)
(Cette formule est tirée de la
formule 110)
-
Exemple :
Données :
W = 1,5 J (énergie
emmagasinée par le condensateur).
Q = 0,06 C (quantité
d’électricité présente sur une armature du condensateur).
Tension entre les
armatures du condensateur :
V = (2 x 1,5) /
0,06 = 3 / 0,06 = 50 V
FORMULE
113 -
Calcul de l’énergie électrique emmagasinée par un condensateur,
connaissant la capacité et la tension existant entre les armatures.
Énoncé :
L’énergie emmagasinée par un
condensateur, exprimée en joules, s’obtient en multipliant la capacité exprimée
en farads par le carré de la tension, exprimée en volt et en divisant par deux
le produit obtenu.
W = CV2 /
2
W = énergie électrique
en J (joule)
C = capacité
en F (farad)
V = tension en
V (volt)
-
Exemple :
Données :
C = 400 µF
= 0,0004 F ; V = 50 V
Énergie électrique
emmagasinée :
W = (0,0004 x
502) / 2 = (0,0004 x 2 500) / 2 = 1 / 2 = 0,5 J
FORMULE
114 – Calcul de la capacité d’un
condensateur, connaissant la valeur de l’énergie emmagasinée et la tension
existant entre les armatures.
C = 2W / V2
C = capacité
en F (farad)
W = énergie électrique
en J (joule)
V = tension en
V (volt)
(Cette formule est tirée de la
formule 113).
-
Exemple :
Données :
W = 0,05 J (énergie
emmagasinée par le condensateur).
V = 500 V (tension
entre les armatures du condensateurs).
Capacité : C =
(2 x 0,05) / 5002 = 0,1 / 250 000 = 4 x 10-7 F = 0,4 µF
(microfarad)
FORMULE
115 – Calcul
de la tension existant entre les armatures d’un condensateur, connaissant la
valeur de l’énergie emmagasinée et la capacité du condensateur.
Énoncé : La
tension existant entre les armatures d’un condensateur, exprimée en volts,
s’obtient en divisant le double de l’énergie emmagasinée, exprimée en joules,
par la capacité exprimée en farads et en extrayant la racine carrée du
quotient obtenu.
-
Exemple :
Données : W
= 4,9 J (énergie électrique
emmagasinée par le condensateur).
C = 80 µF = 8 x 10-5 F (capacité
du condensateur)
Tension existante
entre les armatures du condensateur :
FORMULE
116 – Calcul
de l’intensité du champ électrique existant dans le diélectrique d’un
condensateur, connaissant la tension et la distance entre les armatures.
Énoncé :
L’intensité du champ électrique existant
dans le diélectrique d’un condensateur, exprimée en kilovolts par mètre
s’obtient en divisant la tension existant entre ses armatures, exprimée en
volts, par la distance qui les sépare exprimée en millimètres.
E = V / d
E = intensité
du champ électrique en kV / m (kilovolt par mètre)
V = tension en
V (volt)
d = distance
entre les armatures en mm
-
Exemple :
Données :
V = 350 V
; d = 0,7 mm.
Intensité du
champ électrique : E = 350 / 0,7 = 500 kV / m
OBSERVATION :
L’intensité maximale du champ électrique
admis par un diélectrique est appelée rigidité diélectrique.
Au
tableau VI figure 2, à côté des
valeurs de la constante diélectrique relative à quelques matériaux isolants
(diélectriques), sont portées les valeurs de la rigidité diélectrique.
On observera que la rigidité diélectrique, dans ce tableau, est exprimée en
kilovolts par centimètre (kV /cm) au
lieu de kilovolts par mètre (kV / m), comme
indiqué dans la formule 116. Le kilovolt par centimètre et le kilovolt par mètre
sont des multiples du volt par mètre (V / m),
unité de mesure de l’intensité du champ électrique :
1 kV / m = 1
000 V / m ; 1 kV / cm = 100 000 V / m
1 kV / m = 0,01
kV / cm ; 1 kV / cm = 100 kV / m
FORMULE
117 -
Calcul de l’épaisseur d’une couche isolante,
connaissant la rigidité diélectrique du matériau et la tension électrique
qu’il devra soutenir entre l’une et l’autre superficie de l’épaisseur.
Énoncé :
L’épaisseur de la couche isolante, exprimée
en millimètres, s’obtient en divisant la tension, exprimée en volts, par la
rigidité diélectrique du matériau, exprimée en kilovolts par centimètre
(tableau VI, figure 2) et multipliée par 100.
d = V / (100 x
Rd)
d = épaisseur
de l’isolant en mm
V = tension en
V (volt)
Rd = rigidité
diélectrique en kV / cm (kilovolt par centimètre)
-
Exemple :
Données :
V = 12 000 Rd (tension
à appliquer entre les surfaces opposées du diélectrique).
Rd = 600 kV / cm (rigidité
diélectrique minimale du mica ; voir
tableau VI, figure 2).
Épaisseur de la
couche de mica nécessaire pour obtenir l’isolement à la tension indiquée :
d = 12 000 /
(100 x 600) = 12 000 / 60 000 = 0,2 mm
FORMULE
118 -
Calcul de la tension qu’une épaisseur de matériau
isolant pourra supporter, connaissant l’épaisseur et la rigidité diélectrique
du matériau.
V = 100 x Rd x
d
V = tension en
V (volt)
Rd = rigidité
diélectrique en kV / cm (kilovolt par centimètre)
d = épaisseur
en mm
(Cette formule est tirée de la
formule 117)
-
Exemple :
Données :
Rd = 400 kV
/ cm (rigidité diélectrique
minimale du papier paraffiné, voir tableau VI, figure 2) ; d
= 0,025 mm (épaisseur d’une feuille de papier paraffiné).
Tension que l’on
veut appliquer entre les deux pages d’une feuille de papier paraffiné :
V = 100 x 400 x
0,025 = 1 000 V
FORMULE
119 -
Calcul de la capacité totale de deux ou de
plusieurs condensateurs reliés en parallèle, connaissant la capacité de
chaque condensateur.
Énoncé :
La capacité totale de deux ou de plusieurs
condensateurs reliés en parallèle s’obtient en additionnant leurs capacités.
Ct = C1 + C2 +
C3 + … + Cn
Ct = capacité
totale
C1 = capacité
du premier condensateur
C2 = capacité
du second condensateur
C3 = capacité
du troisième condensateur
Cn = capacité
du dernier condensateur
Les valeurs de capacité doivent
toutes être exprimées avec la même unité de mesure.
-
Exemples :
a)
Données : C1 = 10 pF (picofarad)
; C2 = 18 pF ; C3 = 8 pF ; Cn = 24 pF.
Capacité totale : Ct = 10 + 18 + 8 + 24 = 60 pF
b) Données
: C1 = 50 nF (nanofarad) ; C2 = 30 nF ; C3 = 15 nF ; C4 = 60 nF ; Cn = 5 nF.
Capacité totale : Ct = 50 + 30 + 15 + 60 + 5 = 160 nF
c) Données
: C1 = 2 µF (microfarad) ; C2 = 5 µF ; C3 = 5 µF
Capacité
totale : Ct = 2 + 5 + 5 = 12 µF
FORMULE
120 -
Calcul de la capacité équivalente de deux
ou de plusieurs condensateurs de valeur égale, reliés en série, connaissant
leur capacité.
Énoncé :
La capacité équivalente de deux ou de plusieurs condensateurs ayant la
même capacité, reliés en série, s’obtient en divisant la capacité d’un
condensateur par le nombre de condensateurs.
Ceq = C / n
Ceq = capacité
équivalente
C = capacité
de chaque condensateur
n = nombre de
condensateurs.
La capacité équivalente est
obtenue avec la même unité de mesure que celle utilisée pour indiquer la
capacité des condensateurs.
-
Exemples :
a) Données
: C = 420 pF (picofarad) ; n = 2.
Capacité
équivalente : Ceq = 420 / 2 = 210 pF.
b) Données
: C = 40 nF (nanofarad) ; n = 4
Capacité
équivalente : Ceq = 40 / 4 = 10 nF.
c) Données
: C = 2 µF (microfarad) ; n = 3
Capacité
équivalente : Ceq = 2 / 3
0,666 µF = 666 nF.
FORMULE
121 -
Calcul de la capacité équivalente de
deux condensateurs de valeur différente, reliés en série, connaissant leur
capacité respective.
Énoncé :
La capacité équivalente de deux
condensateurs reliés en série s’obtient en multipliant la capacité des deux
condensateurs et en divisant le produit obtenu par la somme de ces capacités.
Ceq = (C1 x C2)
/ (C1 + C2)
Ceq = capacité
équivalente
C1 = capacité
d’un condensateur
C2 = capacité
de l’autre condensateur.
Les valeurs de capacité doivent
toutes être exprimées avec la même unité de mesure.
-
Exemple :
Données :
C1 = 40 nF (nanofarad) ;
C2 = 60 nF.
Capacité équivalente
des deux condensateurs reliés en série :
Ceq = (40 x 60)
/ (40 + 60) = 2 400 / 100 = 24 nF
FORMULE
122 - Calcul
de la capacité d’un condensateur à relier en série à un autre condensateur
de capacité connue, pour obtenir une capacité équivalente donnée.
Énoncé :
La capacité d’un condensateur à relier en série
à un autre condensateur, pour obtenir une capacité équivalente donnée, se
calcule en multipliant la capacité du condensateur connu par la capacité équivalente
et en divisant le produit par la différence de ces mêmes valeurs.
Ci = (C x Ceq)
/ (C – Ceq)
Ci = capacité
inconnue
C = capacité
du condensateur disponible
Ceq = capacité
équivalente que l’on veut obtenir
Les valeurs de capacité doivent
toutes être exprimées avec la même unité de mesure.
-
Exemple :
Données :
C = 500 pF (picofarad) ; Ceq = 400 pF.
Capacité
inconnue : Ci = (500 x 400) / (500 – 400) = 200 000 / 100 = 2 000 pF
FORMULE
123 -
Calcul de la capacité équivalente de
plusieurs condensateurs reliés en série, connaissant leur capacité.
Énoncé :
La capacité équivalente de plusieurs
condensateurs reliés en série, s’obtient en exécutant les calculs en trois
temps : on calcule d’abord l’inverse de la capacité de chaque
condensateur, ce qui revient à diviser le nombre 1
par la valeur de la capacité. Ensuite, on additionne les valeurs des
inverses. Enfin, on calcule la capacité équivalente en divisant le nombre
1 par la somme des inverses.
Ceq = capacité
équivalente
C1 = capacité
du premier condensateur
C2 = capacité
du second condensateur
C3 = capacité
du troisième condensateur
Cn = capacité
du dernier condensateur
Les valeurs de capacité doivent
toutes être exprimées avec la même unité de mesure.
-
Exemple :
Données :
C1
= 500 pF (picofarad) ; C2
= 2 000 pF ; C3
= 400 pF ;
Cn = 200 pF.
Capacité équivalente :
OBSERVATION :
Si l’on
doit calculer la capacité équivalente de deux condensateurs reliés en série,
on peut utiliser la formule 123,
mais il est plus simple de recourir à la
formule 121 ; En
outre, dans le cas où les capacités des condensateurs reliés en série sont
égales, on peut alors utiliser
la formule 120.
FORMULAIRES
MATHÉMATIQUES 4 “6ème Partie”
Dans ce dernier formulaire, vous
trouverez la suite des formules concernant l’électromagnétisme et les diverses
grandeurs relatives aux signaux périodiques les plus couramment utilisés en électronique.
FORMULE 124
Calcul de la force magnétomotrice
produite par une bobine parcourue par un courant, connaissant le nombre de
spires de l’enroulement et l’intensité du courant.
Énoncé :
La force magnétomotrice, exprimée
en ampères-tours, s’obtient en multipliant le nombre de spires par l’intensité
du courant, exprimée en ampères.
F = NI
F = force magnétomotrice
en A.t (ampère-tour)
N = nombre de
spires
I = intensité
du courant en A (ampère)
Exemple :
Données : N
= 1 600 (nombre de spires d’une
bobine) ; I = 0,05 A (intensité
du courant qui parcourt l’enroulement de la bobine).
Force magnétomotrice
produite par la bobine : F = 1 600 x 0,05 = 80 A.t.
FORMULE 125
-
Calcul du nombre de spires d’une bobine, connaissant la force magnétomotrice
qu’elle doit produire et l’intensité du courant qui parcourt l’enroulement.
N =
F / I
N = nombre
de spires de l’inducteur
F = force
magnétomotrice en A.t (ampère-tour)
I =
intensité du courant en A (ampère)
(Cette formule est tirée de la
formule 124).
Exemple :
Données :
F = 100 A.t ; I = 0,025 A
Nombre de
spires de l’enroulement : N
= 100 / 0,025 = 4 000.
FORMULE
126 - Calcul de l’intensité du
courant qui doit parcourir l’enroulement d’une bobine, connaissant la force magnétomotrice
de la bobine et le nombre de spires de l’enroulement.
I = F / N
I = intensité
du courant en A (ampère)
F = force magnétomotrice
en A.t (ampère-tour)
N = nombre de
spires de la bobine
(Cette formule est tirée de la
formule 124).
Exemple :
Données :
F = 50 A.t. ; N = 800
Intensité du
courant qui parcourt l’enroulement de la bobine :
I = 50 / 800 =
0,0625 A
FORMULE
127 - Calcul
de la perméabilité magnétique absolue d’un matériau, connaissant la perméabilité
absolue du vide et la perméabilité relative du matériau.
Énoncé :
La perméabilité magnétique absolue d’un matériau, exprimée en
micro-henrys par mètre, s’obtient en multipliant la perméabilité magnétique
absolue du vide, exprimée en micro-henrys par mètre, par la perméabilité
relative du matériau.
µ = µo
x µr
µ = perméabilité
magnétique absolue du matériau en µH / m (micro-henry par mètre)
µo = perméabilité
magnétique absolue du vide égale à 1,256 µH / m (micro-henry par mètre)
µr = perméabilité
magnétique relative du matériau (tableau VII, figure 1).
-
Exemple :
Données :
µo = 1,256 µH / m ; µr = 2 000 (valeur
maximale de la perméabilité relative de l’alliage
magnétique perminvar 45 – 25 (valeur maximale) :
µ = 1,256 x 2
000 = 2 512 µH / m.
Au tableau
VII de la figure 1, on a donné les valeurs de la perméabilité magnétique
relative à quelques matériaux diamagnétiques,
paramagnétiques et ferromagnétiques. On notera qu’en général, les
matériaux diamagnétiques ont une valeur de perméabilité relative légèrement
inférieures à 1 et que les matériaux
paramagnétiques ont des valeurs de perméabilité relative légèrement supérieures
à 1 ; ces valeurs peuvent se considérer
comme pratiquement égales à 1 dans toutes
les applications techniques.
La perméabilité absolue des matériaux
diamagnétiques et paramagnétiques est donc pratiquement égale à celle du
vide.
µ = µo x µr
= 1,256 x 1 = 1,256 µH / m
La perméabilité des matériaux
ferromagnétiques n’est pas constante mais change selon la variation de
l’intensité de magnétisation ; pour cette raison, on
a indiqué au tableau VII les valeurs maximales. Ces valeurs ne
suffisent pourtant pas à caractériser le comportement des matériaux ferromagnétiques
; dans ce but, il faudrait fournir des graphiques particuliers, appelés
courbes de magnétisation ; par ces graphiques (qui présentent peu d’intérêt
pour l’électronicien et qui ne seront donc pas pris en considération dans le
formulaire), on peut établir la valeur de la perméabilité absolue des matériaux
ferromagnétiques en relation avec les diverses valeurs de l’intensité de magnétisation
de ces mêmes matériaux.
FORMULE 128 -
Calcul de la perméabilité magnétique relative d’un matériau, connaissant
la perméabilité absolue du vide et du matériau.
µr = µ / µo
µr = perméabilité
magnétique relative
µ = perméabilité
absolue du matériau en µH / m (microhenry par mètre)
µo = perméabilité
absolue du vide = 1,256 µH / m (microhenry par mètre)
(Cette formule est tirée de la
formule 127).
-
Exemple :
Données : µ
= 8,792 µH / m (perméabilité magnétique absolue du fer silicium)
; µo = 1,256 µH / m
Perméabilité
relative du fer silicium : µr = 8 792 / 1,256 = 7 000
(Voir tableau VII, figure 1).
FORMULE
129 -
Calcul de l’inductance d’une bobine à une seule couche, sans noyau,
connaissant la perméabilité absolue de l’air, la section des spires, le nombre
de spires et la longueur de la bobine.
Énoncé :
L’inductance d’une bobine à une seule couche, sans noyau, exprimée en
microhenrys, s’obtient en multipliant la perméabilité absolue de l’air, exprimée
en microhenrys par mètre, par la section des spires, exprimée en centimètres
carrés, par le carré du nombre de spires et en divisant le produit obtenu par
la longueur de la bobine, exprimée en centimètres et multipliée par 100.
L = µSN2
/ 100 l
L = inductance
en µH (microhenry)
µ = perméabilité
absolue de l’air en µH / m (microhenry par mètre)
S = section des
spires en cm2
N = nombre de
spires
l = longueur de
la bobine en cm.
-
Exemple :
Données
: µ
1,256 µH / m (valeur de la perméabilité absolue de l’air ;
l’air est une substance paramagnétique ; voir à
ce propos le tableau VII, figure 1 et l’observation
qui suit la formule 127) ; S = 7,068 cm2
(section d’une bobine cylindrique à spires jointives de 3
cm de diamètre ; pour le calcul de la section, connaissant le
diamètre, voir la formule 19 du
formulaire) ; N = 120 spires ;
l = 3,6 cm (longueur de la bobine).
Inductance de la
bobine :
L = (1,256 x
7,068 x 1202) / (100 x 3,6) = (1,256 x 7,068 x 14 400) /
(100 x 3,6)
L
127 834 / 360
355 µH
OBSERVATION :
La formule 129 pour le calcul de
l’inductance est valable en théorie, quand on admet que tout le flux magnétique
produit par le courant est embrassé par les spires de l’enroulement ; en
pratique, il arrive pourtant qu’une partie du flux magnétique produit soit
dispersé ; pour tenir compte du flux dispersé, on
a recours à des formules empiriques pour les calculs de projets.
FORMULE
130 - Calcul
du flux embrassé par les spires d’un enroulement, connaissant l’inductance et
l’intensité du courant.
Énoncé :
Le flux embrassé par les spires d’un enroulement, exprimé en webers, s’obtient
en multipliant l’inductance, exprimée en henrys, par l’intensité du courant
qui parcourt l’enroulement, exprimée en ampères.
Fc
= LI
Fc
= flux embrassé par les spires d’un enroulement en Wb (weber)
L = inductance
en H (henry)
I = intensité
du courant en A (ampère)
-
Exemple :
Données :
L = 2,5 H ; I = 0,03 A.
Flux embrassé par les spires de
l’enroulement : Fc
= 2,5 x 0,03 = 0,075 Wb.
OBSERVATION :
La formule 130 se réfère à un
inducteur idéal, c’est-à-dire à une bobine dans laquelle tout le flux magnétique
produit par le courant est embrassé par les spires de l’enroulement.
FORMULE
131 - Calcul
de l’inductance d’une bobine, connaissant le flux embrassé par les spires de
l’enroulement et l’intensité du courant qui le parcourt.
L = Fc
/ I
L = inductance
en H (henry)
Fc
= flux embrassé en Wb (weber)
I = intensité
du courant en A (ampère)
(Cette formule est tirée de la
formule 130).
-
Exemple :
Données :
Fc = 0,002 / 0,05 = 0,04 H
FORMULE
132 – Calcul de l’intensité du
courant qui parcourt une bobine, connaissant l’inductance et le flux embrassé
par les spires de l’enroulement.
I = Fc
/ L
(Cette formule est tirée de la
formule 130).
-
Exemple :
Données :
Fc
= 0,6 Wb ; L = 250 mH (millihenry) = 0,25 H.
Intensité du
courant : I = 0,6 / 0,25 = 2,4 A.
FORMULE
133 – (loi de NEUMANN). Calcul de la
force électromotrice induite dans une spire, connaissant la variation du flux
magnétique embrassé par la spire et le temps pendant lequel s’accomplit cette
variation.
Énoncé :
La force électromotrice induite, exprimée en volts, s’obtient en divisant la
variation du flux embrassé exprimée en webers, par le temps pendant lequel se
produit cette variation, exprimée en secondes.
E = (F”c -
F’c) / (t” – t’)
E = force électromotrice
induite en V (volt)
F”c =
valeur du flux embrassé à la fin de l’intervalle considéré
F’c = valeur du
flux embrassé au début de l’intervalle considéré
F”c – F’c
= variation du flux en Wb (weber) qui s’écrit souvent 
Fc
t” =
instant final
t’ = instant
initial
t” – t’ =
intervalle de temps en secondes qui s’écrit souvent t
La formule s’écrit également :
E = Fc
/ t
-
Exemple :
Données :
F”c – F’c = Fc
= 2,2 Wb ; t” – t’ = t
= 0,02 s.
Force électromotrice
induite : E = 2,2 / 0,02 = 110 V
FORMULE
134 - Calcul de la force électromotrice
d’auto-induction, connaissant l’inductance de l’enroulement, la variation de
l’intensité du courant qui le parcourt et le temps pendant lequel se produit
cette variation.
Énoncé : La
force électromotrice d’auto-induction, exprimée en volts, s’obtient en
multipliant l’inductance, exprimée en henrys, par la variation de l’intensité
du courant, exprimée en ampères et en divisant le produit obtenu par le temps
durant lequel se produit cette variation exprimé en secondes.
E = L x
(I” – I’) / (t” – t’) = LI
/ t
E = force électromotrice
d’auto-induction en V (volt)
L = inductance
en H (henry)
I” =
intensité finale du courant
I’ = intensité
initiale du courant
I” – I’ =
variation de l’intensité du courant en A (ampère) qui s’écrit souvent I
t” =
instant final
t’ = instant
initial
t” – t’ =
intervalle de temps en secondes qui s’écrit souvent t
-
Exemple :
Données :
L = 2,5 H (inductance d’un enroulement avec
noyau) ; I
= 0,6 A ; t
= 0,01 s.
Force électromotrice d’auto-induction
:
E = (2,5 x 0,6)
/ 0,01 = 1,5 / 0,01 = 150 V
FORMULE
135 - Calcul
de l’inductance d’un enroulement, connaissant la force électromotrice
d’auto-induction, la variation de l’intensité du courant et le temps pendant
lequel se produit cette variation.
L = E x
(t” – t’) / (I” – I’) = Et
/ I
L = inductance
en H (henry)
E = force électromotrice
d’auto-induction en V (volt)
t” =
instant final
t’ = instant
initial
t” – t’ = t
= intervalle de temps en secondes
I” =
intensité finale du courant
I’ = intensité
initiale du courant
I” – I’ = I
= variation de l’intensité du courant en A (ampère)
(Cette formule est tirée de la
formule 134)
-
Exemple :
Données :
E = 120 V ; t
= 0,01 s ; I
= 0,8 A.
Inductance de
l’enroulement : L = (120 x 0,01) / 0,8 = 1,2 / 0,8 = 1,5 H
FORMULE
136 – Calcul de l’inductance totale
présentée par deux ou plusieurs bobines reliées en série et non couplées
entre elles, connaissant l’inductance de chacune des bobines.
Énoncé :
L’inductance présentée en même temps par deux ou plusieurs bobines reliées
en série s’obtient en additionnant les inductances des bobines.
Lt = L1 + L2 +
L3 + … + Ln
Lt = inductance
totale
L1 = inductance
de la première bobine
L2 = inductance
de la seconde bobine
L3 = inductance
de la troisième bobine
Ln = inductance
de la dernière bobine
Les diverses inductances doivent
toutes être exprimées dans la même unité de mesure.
-
Exemples :
a) Données
: L1 = 0,5 H (henry) ; L2 = 0,5 H ; L3 = 1,5 H ;
Ln = 2 H.
Inductance totale
: Lt = 0,5 + 0,5 + 1,5 + 2 = 4,5 H.
b) Données
: L1 = 20 mH (millihenry ; 1 mH = 0,001 H) ; L2 = 5 mH.
Inductance totale
: Lt = 20 + 5 = 25 mH.
c) Données
: L1 = 300 µH (microhenry ; 1 µH = 0,000001 H) ; L2 = 50 µH ;
L3 = 150 µH
Inductance totale
: Lt = 300 + 50 + 150 = 500 µH.
FORMULE
137 – Calcul de l’inductance équivalente
présentée par deux ou plusieurs bobines de valeur égale,
reliées en parallèle et non couplées entre elles, connaissant leur
inductance.
Énoncé
: L’inductance présentée par deux ou plusieurs bobines égales reliées
en parallèle, s’obtient en divisant leur inductance par le nombre de bobines.
Leq = L / n
Leq =
inductance équivalente
L = inductance
de chaque bobine
n = nombre de
bobines reliées en parallèle
L’inductance équivalente sera
exprimée dans la même unité de mesure que celle utilisée pour indiquer
l’inductance des bobines.
-
Exemple :
a) Données
: L = 2 H (henry) ; nombre (n) de bobine = 4
Inductance équivalente
: Leq = 2 / 4 = 0,5 H.
b) Données
: L = 50 mH (millihenry ; 1 mH = 0,001 H) ; n = 2
Inductance équivalente
: Leq = 50 / 2 = 25 mH.
c) Données
: L = 600 µH (microhenry ; 1 µH = 0,000001 H) ; n = 3
Inductance équivalente
: Leq = 600 / 3 = 200 µH.
FORMULE
138 - Calcul de l’inductance équivalente
de deux bobines de valeur différente, reliées en parallèle et non couplées
entre elles, connaissant leur inductance.
Énoncé :
La somme des inductances présentées par deux bobines de différente
inductance, reliées en parallèle, s’obtient en multipliant les deux valeurs et
en divisant le produit obtenu par la somme de ces mêmes valeurs.
Leq = (L1 x L2)
/ (L1 + L2)
Leq =
inductance équivalente
L1 = inductance
d’une bobine
L2 = inductance
de l’autre bobine.
Les valeurs d’inductance doivent
toutes être exprimées dans la même unité de mesure.
-
Exemple :
Données : L1 =
12 mH (millihenry) ; L2 = 6 mH.
Inductance équivalente
: Leq = (12 x 6) / (12 + 6) = 72 / 18 = 4 mH.
FORMULE
139 - Calcul de l’inductance
d’une bobine à relier en parallèle à une autre bobine de valeur connue, pour
obtenir une inductance équivalente connue (les deux bobines ne doivent pas être
couplées entre elles).
Énoncé :
L’inductance d’une bobine à relier en parallèle à une autre bobine,
pour obtenir une inductance équivalente donnée, se calcule en multipliant la
valeur de la bobine connue par l’inductance équivalente et en divisant le
produit par la différence de ces valeurs.
Li = (L x Leq)
/ (L – Leq)
Li = inductance
inconnue
L = valeur de
la bobine disponible
Leq =
inductance équivalente que l’on veut obtenir.
Les valeurs d’inductance doivent
toutes être exprimées dans la même unité de mesure.
-
Exemple :
Données :
L = 800 µH
= 800 µH (microhenry) ;
Leq = 600 µH
Inductance
inconnue : Li = (800 x 600) / (800 – 600) = 480 000 / 200 = 2 400 µH
FORMULE
140 – Calcul de l’inductance équivalente
de plusieurs bobines reliées en parallèle et non couplées entre elles,
connaissant leur inductance.
Énoncé :
L’inductance équivalente de plusieurs bobines reliées en parallèle, s’obtient
en exécutant les calculs en trois temps : d’abord, on calcule l’inverse
de l’inductance de chaque bobine, ce qui revient à diviser le nombre 1
par la valeur de la bobine ; ensuite, on additionne les valeurs des
inverses ; enfin, on calcule l’inductance équivalente en divisant le
nombre 1 par la somme des inverses.
Les valeurs d’inductance doivent
toutes être exprimées dans la même unité de mesure.
-
Exemple :
Données : L1
= 2 mH (millihenry) ; L2 = 4 mH ;
L3 = 4 mH.
OBSERVATION :
Si l’on doit
calculer l’inductance équivalente de deux bobines reliées en parallèle, on
peut utiliser la formule 140, mais il est plus simple
de recourir à la formule 138 ; en outre, dans
le cas où les inductances des bobines reliées en parallèle sont égales entre
elles, il convient de recourir à la formule 137.
FORMULE
141 -
Calcul de l’énergie emmagasinée par une bobine, parcourue par un courant,
connaissant l’inductance et l’intensité du courant.
Énoncé :
L’énergie emmagasinée par une bobine, exprimée en joules, s’obtient en
multipliant l’inductance, exprimée en henrys par le carré de l’intensité du
courant, exprimée en ampères et en divisant par 2 le
produit obtenu.
W = (L x I2)
/ 2
W = énergie électrique
en J (joule)
L = inductance
en H (henry)
I = intensité
du courant en A (ampère)
-
Exemple :
Données :
L = 50 mH (millihenry) = 0,05 H ;
I = 100 mA (milliampère) = 0,1 A
Énergie électrique
emmagasinée :
W = (0,05 x 0,12)
/ 2 = 0,05 x 0,01 / 2 = 0,00025 J.
FORMULE
142 - Calcul de la fréquence d’une
grandeur périodique (par exemple, d’un courant avec allure sinusoïdale),
connaissant la période, c’est-à-dire la durée de chaque cycle.
Énoncé :
La fréquence, exprimée en hertz, s’obtient en divisant le nombre 1
par la période exprimée en secondes.
f = 1 / T
f = fréquence
en Hz (hertz)
T = période en
s (seconde)
-
Exemple :
Donnée :
T = 0,02 s.
Fréquence : f =
1 / 0,02 = 50 Hz.
OBSERVATION :
Si, dans la formule 142, la période
est exprimée en millisecondes (ms ;
1 ms = 0,001 s), la fréquence sera
exprimée en kilohertz, (kHz ; 1 kHz = 1 000 Hz)
; si au contraire, la période est exprimée en microsecondes (µs
; 1 µs = 0,000001 s), la fréquence sera exprimée en mégahertz (MHz
; 1 MHz = 1 000 000 Hz).
FORMULE
143 – Calcul de la période d’une
grandeur périodique (par exemple, d’un courant alternatif avec allure sinusoïdale)
connaissant la fréquence, c’est-à-dire le nombre de cycles accomplis pendant
l’unité de temps.
Énoncé :
La période, exprimée en secondes, s’obtient en divisant le nombre 1
par la fréquence, exprimée en hertz.
T = 1 / f
T = période en
s (seconde)
f = fréquence
en Hz (hertz)
-
Exemple :
Donnée :
f = 1 000 Hz.
Période : T = 1
/ 1 000 = 0,001 s
OBSERVATION :
Si, dans la formule 143, la fréquence
est exprimée en kilohertz (kHz ; 1 kHz = 1 000 Hz),
la période sera exprimée en millisecondes (ms ; 1 ms
= 0,001 s) ; si, au contraire la fréquence est exprimée en mégahertz
(MHz ; 1 MHz = 1 000 000 Hz), la période
sera exprimée en microsecondes (µs ; 1 µs = 0,000001
s).
FORMULE
144 -
Calcul de la valeur efficace d’un courant (ou tension) de type
alternatif et sinusoïdal, connaissant la valeur maximale.
Énoncé :
La valeur efficace d’un courant (ou de tension) de type alternatif
sinusoïdal s’obtient en divisant la valeur maximale par la racine carrée de 2.
REMARQUES :
En multipliant le numérateur et le
dénominateur de cette formule par 1,41, on
obtient également la formule simplifiée suivante :
de même, on aura :
Ieff
0,707 x Imax
Ieff = valeur
efficace du courant en A (ampère)
Imax = valeur
maximale du courant en A (ampère).
-
Exemple :
a) Donnée
: valeur maximale du courant alternatif, Imax = 0,8 A (ampère).
Valeur
efficace du courant alternatif : Ieff = 0,707 x 0,8 = 0,5656 A.
b) Donnée
: valeur maximale de la tension alternative : Vmax = 311 V (volt).
Valeur
efficace de la tension alternative : Veff
0,707 x 311 = 220 V.
OBSERVATION :
La valeur efficace d’un courant (ou
tension) alternatif dépend aussi de la forme d’onde. En effet, si l’onde
est sinusoïdale, (figure 2-a), la valeur efficace est égale au
produit de la valeur maximale par le nombre 0,707 ;
par contre, si l’onde est rectangulaire (figure
2-b) la valeur efficace est égale à la valeur
maximale. Si l’onde est triangulaire
(figure 2-c), la valeur efficace est égale au produit
de la valeur maximale par le nombre 0,577
(tableau VIII, figure 3). En général, un nombre précis correspond à chaque
forme d’onde, nombre compris entre zéro et 1,
qui multiplié par la valeur maximale, permet d’obtenir la valeur efficace.
FORMULE
145 – Calcul de la valeur maximale
d’un courant (ou tension) alternatif sinusoïdal, connaissant la valeur
efficace.
Vmax = Veff x
1,41
Vmax = valeur
maximale de la tension en V (volt)
Veff = valeur
efficace de la tension en V (volt)
Racine carrée de
2
1,41
Imax = Ieff x
02
Imax = valeur
maximale du courant en A (ampère)
Ieff = valeur
efficace du courant en A (ampère)
(Les formules ci-dessus sont tirées
des formules 144).
-
Exemple :
a) Donnée
: valeur efficace du courant alternatif, Ieff = 2,5 A (ampère)
2,5
A. Valeur maximale du courant alternatif : Imax = 1,41 x 2,5 = 3,5
b) Données
: valeur efficace de la tension alternative, Veff = 160 V.
Valeur
maximale de la tension alternative, Vmax = 1,41 x 160 = 225,6 V.
OBSERVATION :
Le nombre qui multiplie la valeur
efficace dépend de la forme d’onde. En effet, si l’onde est sinusoïdale
(figure 2-a), on utilisera le facteur 1,414 ;
mais si l’onde est rectangulaire (figure 2-b), on utilisera le facteur 1
et la valeur maximale sera donc égale à la valeur
efficace ; en outre, si l’onde est triangulaire (figure 2-c), on
utilisera le facteur 1,73 (tableau VIII,
figure 3).
FORMULE
146 -
Calcul de la valeur crête à crête d’une tension alternative sinusoïdale,
connaissant sa valeur efficace.
Énoncé :
La valeur crête à crête d’une tension alternative sinusoïdale, s’obtient en
multipliant la valeur efficace par le nombre fixe 2,82.
Vcc = 2,82 x
Veff
Vcc = valeur crête
à crête de la tension
Veff = valeur
efficace de la tension
Icc = 2,82 x
Ieff
Icc = valeur crête
à crête du courant
Ieff = valeur
efficace du courant
-
Exemple :
Donnée : Valeur
efficace de la tension alternative, Veff = 220 V (volt)
Valeur de crête
à crête de la tension, Vcc = 220 x 2,82 = 620,4 V.
OBSERVATION :
Le nombre fixe qui multiplie la
valeur efficace dépend de la forme d’onde. En effet, si l’onde est sinusoïdale
(figure 2-a), on utilisera le facteur 2,82 ;
mais si l’onde est rectangulaire (figure 2-b), on utilisera le facteur 2
(tableau VIII, figure 3) ; si au contraire, l’onde est triangulaire
(figure 2-c), on utilisera le facteur 3,46
(tableau VIII, figure 3).
FORMULE
147 - Calcul
de la valeur moyenne d’un courant (ou tension) alternatif sinusoïdal,
connaissant la valeur efficace.
Énoncé :
La valeur moyenne d’un courant (ou tension) alternatif sinusoïdal s’obtient en
multipliant la valeur efficace par le nombre fixe 0,9.
Vm = 0,9 x Veff
Vm = valeur
moyenne de la tension en V (volt)
Veff = valeur
efficace de la tension en V (volt)
Im = 0,9 x Ieff
Im = valeur
moyenne du courant en A (ampère)
Ieff = valeur
efficace du courant en A (ampère)
-
Exemple :
a) Donnée
: Valeur efficace du courant alternatif, Ieff = 0,35 A (ampère)
Valeur
moyenne du courant alternatif, Im = 0,9 x 0,35 = 0,315 A
b) Donnée
: Valeur efficace de la tension alternative : Veff = 220 V.
Valeur moyenne
de la tension alternative : Vm = 0,9 x 220 = 198 V.
OBSERVATION :
Le nombre fixe qui
multiplie la valeur efficace dépend de la forme d’onde. En effet, si l’onde est
sinusoïdale (figure 2-a), on utilisera le facteur 0,9
mais si l’onde est rectangulaire (figure 2-b), on utilisera le facteur 1
et de ce fait, la valeur moyenne sera égale à la valeur efficace ;
enfin, si l’onde est triangulaire (figure 2-c), on utilisera le facteur 0,866
(tableau VIII, figure 3).
FORMULE
148 - Calcul
de la pulsation d’une grandeur périodique, connaissant sa fréquence.
Énoncé :
La pulsation, exprimée en radians par seconde, est donnée par deux
fois le produit du nombre P
par la fréquence, exprimée en hertz.
w
= 2 n f
6,28 f
w =
pulsation en rd / s (radian par seconde)
P
= symbole du nombre 3,14…
f = fréquence
en Hz (hertz)
-
Exemple :
Donnée :
f = 400 Hz
Pulsation : w
6,28 x 400 = 2 512 rd
/ s.
FORMULE
149 – Calcul de la fréquence d’une
grandeur périodique, connaissant la pulsation.
f = w
/ 2Õ
0,159 w
f = fréquence
en Hz (hertz)
w
= pulsation en rd / s (radian par seconde)
Õ =
symbole de nombre fixe 3,14…
(Cette formule est tirée de la
formule 148).
-
Exemple :
Donnée : w
= 2 000 rd / s.
Fréquence : f
0,159 x 2 000 = 318
Hz.
FORMULE
150 - Calcul
de la pulsation d’une grandeur périodique, connaissant sa période.
w =
2Õ / T
6,28 / T
w =
pulsation en rd / s (radian par seconde)
Õ
= symbole du nombre fixe
3,14…
T = période en
s (seconde)
La présente
formule s’obtient en remplaçant dans la formule 148, la fréquence f,
par le second membre de la formule 142, soit :
1 / T.
-
Exemple :
Donnée : T
= 0,02 s (période du courant
alternatif à 50 Hz).
Pulsation :
w =
6,28 / 0,02 = 314 rd / s
FORMULE
151 – Calcul de la période d’une
grandeur périodique, connaissant sa pulsation.
T = 2Õ
/ w
6,28 / w
T = période en
s (seconde)
Õ
= symbole du nombre fixe 3,14…
w =
pulsation en rd / s (radian par seconde)
(Cette formule est tirée de la
formule 150).
-
Exemple :
donnée :
w =
628 rd / s (pulsation d’un courant alternatif à 100 Hz)
Période :
T = 6,28 / 628 = 0,01 s.
FORMULE
152 - Calcul
de la réactance capacitive d’un condensateur, connaissant la capacité du
condensateur et la fréquence du courant alternatif qui le traverse.
Énoncé :
La réactance capacitive, exprimée en ohms, s’obtient en divisant le
nombre 1 par 6,28 (2Õ)
par la fréquence, exprimée en hertz et
par la capacité, exprimée en farads.
Xc = 1
/ (2ÕfC)
1 / (6,28 fC)
Xc = réactance capacitive en W
(ohm)
Õ
= symbole du nombre fixe 3,14…
f = fréquence en Hz (hertz)
C = capacité en F (farad)
Cette formule s’écrit également :
Xc =
1 / Cw
puisque d’après
la formule 148, w
= 6,28 f.
-
Exemple :
Données : f
= 3 000 Hz ; C = 500 nF (nanofarad) = 0,0000005 F.
Réactance
capacitive : Xc
1 / (6,28 x 3 000 x 0,0000005) = 1 / 0,00942
106,15 W.
OBSERVATION :
Dans les calculs, il est souvent
plus commode de remplacer les unités de mesure de la fréquence et de la
capacité par les multiples et sous-multiples correspondants ; en
particulier, il arrive de trouver la fréquence exprimée en kilohertz (kHz)
ou bien en mégahertz (MHz) et la capacité
en nanofarads (nF), en picofarads (pF),
ou bien en microfarads (µF). Dans tous ces
cas, on peut utiliser la formule 152, en tenant compte de ce qui suit :
-
Si la fréquence est exprimée
en hertz et la capacité en microfarads,
la réactance sera exprimée en mégohms, -
Si la fréquence est exprimée
en kilohertz et la capacité en nanofarads,
la réactance sera exprimée en mégohms, -
Si la fréquence est exprimée
en kilohertz et la capacité en microfarads,
la réactance sera exprimée en kilo-ohms, -
Si la fréquence est
exprimée en mégahertz et la capacité
en nanofarads, la réactance sera exprimée
en kilo-ohms, -
Enfin, si la fréquence est
exprimée en mégahertz et la capacité
en picofarads, la réactance sera exprimée
en mégohms.
FORMULE
153 - Calcul de la capacité d’un
condensateur, connaissant sa réactance capacitive pour une fréquence donnée.
C =
1 / (2 Õ
f Xc)
1 / (6,28 f Xc)
C = capacité
en F (farad)
Õ
= symbole du nombre fixe 3,14…
f = fréquence
en Hz (hertz)
Xc = réactance
capacitive en W
(ohm)
(Cette formule est tirée de la
formule 152).
-
Exemple :
Données : F
= 5 000 Hz ; Xc = 400
W.
Capacité :
C
1 / (6,28 x 5 000 x 400) 1 / 12 560 000 = 0,000 000 079 617 F
C
79,61 nF (nanofarad).
FORMULE
154 - Calcul de la réactance
inductive d’une bobine, connaissant son inductance et la fréquence du courant
alternatif qui la traverse.
Énoncé :
La réactance inductive, exprimée en ohms, s’obtient en multipliant
le nombre fixe 6,28 (2Õ)
par la fréquence,
exprimée en hertz et par l’inductance, exprimée en henrys.
XL = 2
Õ f L
6,28 f L
XL = réactance
inductive en W (ohm)
Õ
= symbole du nombre fixe 3,14…
f = fréquence
en Hz (hertz)
L = inductance
en H (henry)
ou :
XL = Lw
Puisque
w =
6,28 f (formule
148).
-
Exemple :
Données : f
= 250 000 Hz ; L = 0,006 H.
Réactance
inductive : XL = 6,28 x 250 000 x 0,006 = 9 420 W.
OBSERVATION :
La formule 154 peut aussi s’utiliser
en exprimant la fréquence en kilohertz (kHz)
et l’inductance en millihenrys (mH), ou bien
la fréquence en mégahertz (MHz) et
l’inductance en microhenrys (µH) ;
dans l’un et l’autre cas, la réactance inductive sera
exprimée en ohms.
FORMULE 155
- Calcul
de l’inductance d’une bobine, connaissant sa réactance inductive pour une fréquence
donnée.
L = XL /
(2 Õ f)
XL / 6,28 f
L = inductance
en H (henry)
XL = réactance
inductive en W
(ohm)
Õ
= symbole du nombre fixe
3,14…
f = fréquence
en Hz (hertz)
(Cette formule est tirée de la
formule 154).
-
Exemple :
Données : XL
= 20 000 = 20 000 W
; f =
700 kHz (kilohertz) = 700 000 Hz.
Inductance
:
L = 20 000 / (6,28 x 700 000) = 20 000 / 4 396 000
0,004 549 H
= 4,549 mH (millihenry).
(Nous terminons ainsi nos quatrièmes
formulaires mathématiques et de rappels…).
| · Cliquez ici pour la leçon suivante ou dans le sommaire prévu à cet effet. | ¨ Haut de page |
| · Page précédente | · Page suivante |
